Gesucht Punkt S1 und S2 bei einer Pyramide mit dem Quadrat ABCD als Grundfläche.

Question

Hallo... Ich komme bei einer Aufgabe nicht weiter...

Gegeben ist mir A(5|5|-3), B(3|4|-1), C(5|2|0) und die Gerade

g: x = (8;5;-3) + λ * (2;1;-1)

Dadurch habe ich die Ebene 

E: x + 2y + 2z = 9

ausgerechnet.

Nun habe ich den Punkt D(7|3|-2).

Nun soll ich allerdings die Punkte S1 und S2 berechnen, welche die Spitze der Pyramide darstellen und jeweils ein Volumen von 18 Volumeneinheiten haben.

Darüber hinaus liegen diese beiden Punkte auf der Geraden g.

Hoffe ihr könnt mir behilflich sein...

Answer 1

Es ist sowohl der Vektor AB als auch der Vektor CD gleich ( -2 / -1 / 2 )
Also ist ABDC ein Parallelogramm.  Dessen Fläche bekommst du mit
dem Betrag von AB x AC  = (3 / 6 / 6 )  also  A_P =   wurzel(81) = 9
Die Pyramide hat also das Volumen (1/3) * 9 * h = 18
                                                                also h=6
Damit brauchst du auf deiner Geraden die Punkte, die den Abstand 6 von der
Ebene des Parallelogramms haben.
Das geht am einfachsten mit der Hesse-Normalenform der Ebene
E  :     x + 2y + 2z = 9   bzw.     x + 2y + 2z - 9 = 0
also HNF(E):      (x + 2y + 2z  - 9) / 3 = 0

Jetzt für xyz die Koordinaten der Geradenpunkte   (8;5;-3) + λ * (2;1;-1) einsetzen und
für den Abstand  ±6
  (8+2 λ) + 2*   (5 + λ ) + 2 *   (-3 - λ ) =    ±6 
                   2 λ + 12 =   ±6 
    2 λ  =  -6    oder     2 λ  =  -18
     λ  =  -3    oder      λ  =  - 9 
In die Geradengl. einsetzen liefert die ges. Punkte.

 
               

Comments

Der Punkt D soll mit den Punkten ABC zusammen ein Quadrat bilden.

Ändert das etwas an der Lösung?

Und wie berechne ich den Umkreismittelpunkt von ABC?

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Ist auch ein Quadrat, denn die Vektoren AB und AC sind beide gleich lang (Länge 3)

und haben Skalarprodukt 0.   Also Quadratfläche 9

Aber ein Quadrat ist eben auch ein Parallelogramm; deshalb egal.

Und der Umkreismittelpunkt ist also die Mitte der Diagonale BC

M  = (   (3+5)/2  ;   (4+2)/2  ;   (1  0) / 2  )