konvergenz der Folge an=n

Question

Hallo Ich möchte die Definition der Konvergenz mit ε>0 üben und möchte hiermit zeigen, dass die Folge an=n nicht konvergiert.( Ich möchte nicht zeigen dass es gegen ∞ divergiert)

Ich möchte es mittels Widerspruchsbeweis machen:

Sei an konvergent. Und sei z.B. ε=1/2. So existiert ein n₀∈ℕ so dass gilt Ian-aI< 1/2 für alle n>n₀

also In-aI<1/2

wie geht es jetzt auf diese Art weiter?

Kann das Jemand, auch wenn es natürlich komplizierter ist, als einfach zu zeigen das die Folge gegen unendlich divergiert?

Vielen Dank schonmal

Answer 1

Sei \( n>a\), d.h. \(n=a+m\) für beliebiges \(m\in \mathbb{N} \). Für alle \(n\) dieser Art gilt

$$ |a_n - a| = |a+m-a| = |m| \geqslant 1 > \frac{1}{2} $$

Comments

genial,vielen dank,

bist du da nach nem schema vorgegangen?

klappt das auch für die folge 1/n?

Also wähle n>a d.h. n=(a+m) für bel. m El. N, für alle n dieser Art gilt Ian-aI=I1/nI...?

ich kann deine antwort von oben gut nachvollziehen weiß aber nicht wie ich vorgehen soll sobald die aufgabe variiert.

Liebe Grüße

und vielen Dank

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was mache ich wenn a (element der reellen zahlen) keine ganze zahl ist. dann gilt die voraussetzung doch nicht weil dann n =a+m immer falsch ist...

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Wenn das keine ganze Zahl ist, rundet man halt. Und nein bei der Folge \( 1/n \) funktioniert das nicht, die ist schließlich konvergent. Ein strenges Schema gibt es nicht. Man muss halt ein Epsilon aussuchen und dann beweisen, dass es kein \( n_0 \) gibt, sodass für alle \(n>n_0 \) \(|a_n - \ell|<\epsilon \).