Wie überprüfe ich folgende Folge auf Konvergenz? an= (2n^2-3n+9) / (5n-n^2-7)

Question

a_n= (2n²-3n+9) / (5n-n²-7)

Ich hoffe es kann mir jemand weiterhelfen :)

Answer 1

den Grenzwert kann man raten: a=-2

Jetzt ist noch der Beweis zu erledigen:

|an -a|=(7n-5)/(n^2-5n+7) (wegen dem Betrag)

Jetzt ist das nach oben Abzuschätzen,

also den Zähler vergrößern und den Nenner kleiner machen:

(7n-5)/(n^2-5n+7) < (7n)/(n^2-5n)

=7/(n-5)<ε

Nun kannst du ein geeignetes N bestimmen, sodass für alle n>= N die Ungleichung erfüllt ist.

Answer 2

Du müsstest die Aufgabenstellung mal präzisieren. Welche Methoden stehen denn zur Verfügung? Ansonsten lässt sich der Grenzwert ablesen und die Folge ist konvergent.

Comments

Also ich bin mit der Rechnung: a_n - A auf folgendes Ergebnis gekommen:

(7n-5) / ( -n^2 +5n -7) < ε

Jetzt möchte ich auf n umformen, weiß aber nicht wie das gehen soll.

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Mit welchem A hast du denn gerechnet?

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A = -2

Da dies bei der Berechnung des Grenzwertes herauskam.

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(7n-5) / ( -n² +5n -7) < ε

ist soweit richtig. Rechne noch oben und unten *(-1) , dann hast du ab einem gewissen n einen positiven Nenner und du kannst mit dem Nenner multpilizieren. 

https://www.wolframalpha.com/input/?i=(2n%5E2-3n%2B9)+%2F+(5n-n%5E2-7)+-+(-2) 

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Wie meinst du mit dem Nenner multiplizieren?

Wie soll ich das verstehen? :)

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(7n-5) / ( -n² +5n -7) < ε , 

(5 - 7n) / (n^2 - 5n + 7) <  ε  für n> "rechte Nullstelle" von f(n) = n^2 - 5n + 7

5 - 7n <  ε (n^2 - 5n + 7) 

5 - 7n <  ε n^2 -  ε 5n +  ε 7

usw. (n berechnen via weitere quadratische Gleichung).

Aber man kann auch gröber abschätzen. Vgl. Antwort von jc2144 

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Also muss jetzt vom rechten Teil der Gleichung die Nullstelle bestimmt werden.

Dies wäre nach meinen Berechnungen 3,37 (gerundet)

Aber wie komme ich dann auf meine gewünschte Gleichung n < ... ?

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Einfach so nach n auflösen, kannst du die Ungleichung von jc2144 einfacher.

Wenn du es unbedingt komplizierter willst: 

Aus 5 - 7n <  ε n² -  ε 5n +  ε 7 wird eine quadratische Ungleichung. 

0  <  ε n² +(7-  5ε) n +  (7ε - 7) 

Nun hier wieder die "rechte Nullstelle" der rechten Seite nehmen.

Zum Schluss dann max({3.37, n} ) schreiben. 

Answer 3

Hier kannst du direkt den Grenzwert ausrechnen: 

a_n= (2n²-3n+9) / (5n-n²-7)       | oben und unten * 1/n^2

=(2 - 3/n + 9/n^2) / (5/n - 1 -7/n^2) 

Nun lim_(n->unendlich) davorschreiben

und dann

lim_(n->unendlich) (2 - 3/n + 9/n^2) / (5/n - 1 -7/n^2) 

= (2 - 0 + 0)/( 0 -1 + 0) 

= 2/(-1) 

= -2.

Da der Grenzwert ausgerechnet werden konnte, existiert er auch und die Folge ist konvergent. 

Comments

Ich rechne mal mit der Abschätzung von jc2144 fertig.

7/(N-5)<ε       |* (n-5)  , für n>5 

7 < € (N-5) 

7 < € N - 5€

7 + 5€ < N, das ist automatisch grösser als 5, da €>0 nach Voraussetzung

N_o > 7 + 5€