Ungleichung mit Betrag: 1+(1/x)≤|1+x|

Question

Hallo ich sitze gerade an einer Aufgabe zu Ungleichungen.

Die Ungleichung lautet: 1+(1/x)≤|1+x|

Hierbei habe ich zwei Fälle unterschieden.

Fall 1:    1+x ≥ 0 → x ≥- 1

1+(1/x) ≤ 1+x | -1

1/x ≤ x | *x

1 ≤ x^2 |√

√1 ≤ x → x ≥ 1

Hier bekomme ich die Lösungsmenge L {[1,∞)}

Fall 2:   1+x < 0 →  x < -1

1+(1/x) ≤ -1-x | -1

1/x ≤ -2-x | *x

1 ≤ -2x-x^2 |-1

0 ≤ -x^2-2x-1 | :(-1)

0≥ x^2+2x+1 | PQ-Formel

x = -1

Hier würde ich sagen, das die Lösungsmenge L{(-∞,-1)} ist, aber ich weiß aufgrund eines Rechners, dass die richtige Lösungsmenge so lautet:

L{(-∞,0)}

Ich verstehe hierbei nicht, wie man auf die Null kommt, ich habe die Aufgabe jetzt schon öfters berechnet, komme aber immer auf -1.

Lasse ich mit die Ungleichung zeichnen, erkenne ich auch, dass 0 richtig ist, aber wie kann man das rechnerisch herausbekommen?

Kann mir vielleicht jemand helfen?

Answer 1

Fall 1:    1+x ≥ 0 → x ≥- 1

1+(1/x) ≤ 1+x | -1

1/x ≤ x | *x       |  Fortsetzung nur richtig, wenn du x>0 forderst.

1 ≤ x² |√

√1 ≤ x → x ≥ 1

Hier bekomme ich die Lösungsmenge L =[1,∞)       . Ein Intervall ist bereits eine Punktmenge. Da machen zusätzliche Mengenklammern keinen Sinn.

Fall -1 ≤ x ≤0 noch separat ansehen!

Fall 2:   1+x < 0 →  x < -1

1+(1/x) ≤ -1-x | -1

1/x ≤ -2-x | *x , da x<0

1  ≥ -2x-x² |-1

0 ≥ -x²-2x-1 | :(-1)

0 ≤ x²+2x+1 | PQ-Formel / binomische Formel erkennen

0 ≤ (x+1)^2

Quadrate sind immer ≥ 0.

Daher L3 = (-∞,-1).

Skizziere jeweils die Graphen der linken und rechten Seite einer Ungleichung. Bei der vorliegenden Gleichung solltest du das ohne technische Hilfe skizzieren können.

Nun kannst du schon sehen, wo überall die rote Kurve unter der grünen verläuft. 

D.h. du musst mit deinem Umformungen alles rausbekommen ausser (0,1).

Comments

Danke für die schnelle Antwort.

Das mit der Biomischen Formel, und dass Quadrate immer größer null sind verstehe ich.

Wie kommt man dabei allerdings darauf, dass x: -∞<x<0 ist?

Habe ich das richtig verstanden, dass es hierbei 3 Fälle gibt, da ich noch -1≤x≤0 betrachten soll?

Und wenn ja wie müsste der Ansatz für den dritten Fall lauten?

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Wie kommt man dabei allerdings darauf, dass x: -∞<x<0 ist? Da hatte ich mich verschrieben. L3 = (-unendlich,-1) ist oben korrigiert.

Habe ich das richtig verstanden, dass es hierbei 3 Fälle gibt, da ich noch -1≤x≤0 betrachten soll?

Ja bei L2 solltest du bekommen, dass L2 = [-1,0)

Und wenn ja wie müsste der Ansatz für den dritten Fall lauten?

Fall 1:    1+x ≥ 0 → x ≥- 1

1+(1/x) ≤ 1+x | -1

1/x ≤ x | *x       |  Fortsetzung nur richtig, wenn du x>0 forderst. und x>0

1 ≤ x² |√

√1 ≤ x → x ≥ 1

Hier bekomme ich die Lösungsmenge L =[1,∞)       

Fall -1 ≤ x ≤0 noch separat ansehen!

Fall 2:    1+x ≥ 0 → 0 x ≥- 1

1+(1/x) ≤ 1+x | -1

1/x ≤ x | *x       |  Fortsetzung, wo du x<0 forderst.

1 ≥ x² |√  gefährlich. Geht in 2 Richtungen:

-√1 ≤ x ≤ √1

Alle x im betrachteten Bereich gehören auch noch zu L. L2=  [-1, 0) 

Alternative:

1 ≥ x² 

0 ≥ x^2 - 1 = (x+1)(x-1)

Ein Produkt ist kleiner als 0, wenn ein Faktor neg. und der andere pos. 

Einer von beiden 0 ist auch erlaubt. → -1 ≤x≤ 1. Aber Rechnung nur für [-1,0) gemacht. 

----> L2 = [-1,0) 

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Fall 3:

1+x < 0 →  x < -1

 

1+(1/x) ≤ -1-x | -1

1/x ≤ -2-x | *x --> x<0 = Umkehrung des größer gleich Zeichens

1 ≥ -2x-x² |-1 

0 ≥ -x²-2x-1 | :(-1) = Umkehrung des größer gleich Zeichens

0 ≤ x²+2x+1

0 ≤ (x+1)^2

0 ≤ (x+1)*(x+1)

----> L (-∞,-1), da für (-∞+1)*(-1+1) =0

Müsste der Fall dann so aussehen?