Symmetrie?
Achsensymmetrie:
f(x) = f(-x)
x3-3x2 ≠ (-x)³ - 3*(-x)²
x3-3x2 ≠ -x³ -3x
Es kommt nicht der selbe Term raus, daher ist es nicht Achsensymmetrisch
Punktsymmetrie:
-f(x)= f(-x)
-(x3-3x2) ≠ -x³ -3x
-x³ + 3x² ≠-x³ -3x
Ebenfalls keine Übereinstimmung. Es liegt keine Symmetrie vor.
Nun bilden wir die Ableitungen
f(x) = x3-3x2
f'(x)= 3x² - 6x
f''(x)= 6x - 6
f'''(x)= 6
Für die Nullstellen ist besonders f(x) wichtig.
f(x) = x3 - 3x2 = 0
0 = x2 (x - 3)
Was muss x sein, damit alles 0 wird ? Man fakotiert mit 0, sodass der gesamte Term gleich 0 wird. Daher ist x1 = 0, da wir direkt mit 0 multiplizieren würden und x2 = 3, da in der Klammer dann 3-3 stünde, was ebenfalls 0 ist.
NS: (3|0) und (0|0)
Extremstellen:
f'(x)= 3x² - 6x
0=3x² - 6x | :3
0=x² - 2x | x ausklammern
0= x(x-2)
gleicher Sachverhalt wie oben, was ist x, damit alles 0 wird ?
x1=0 x2= 2
Nun einsetzen in f(x)
f(0) = 03-3*02 = 0 Ex1: (0|0)
f(2) = 23-3*22 =-4 Ex2: (2|-4)
Hoch- oder Tiefpunkt?
Einsetzen der x Werte in f''(x)
f''(0)= 6*0 - 6= -6 -6< 0 HP
f''(2)= 6*2 - 6= 6 6> 0 TP
Wendepunkte:
Dazu ebenfalls f''(x) anschauen:
f''(x)= 6x - 6
0= 6x - 6
6=6x | :6
1=x
WP bei x=1.
Einsetzen in f(x)
f(1) = 13-3*12 =1-3 = -2
WP: (1|-2)
Links-Rechts oder Rechts-links ?
f'''(x) ist gefragt !
f'''(x)= 6 6>0 daher ist es ein Rechts-Links Wendepunkt
Wie sieht der Graph aus? Passt alles was wir gerechnet haben?
~plot~ x^3 - 3x^2 ~plot~
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