Komplette Kurvendiskussion für f(x) = x^3-3x^2

Question

Symmetrie, Schnittpunkte, Extrempunkte, Wendepunkte
f(x) = x³-3x² 
Kann mir jemand vielleicht die Aufgabe lösen  Bitte so das ich es nachvollziehen kann :)

Comments

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Answer 1

Auf der Seite Mathebaustelle findest du eine ganz ähnliche Kurvendiskussion

x^3+2x^2.

Wenn du dir die anschaust, müsstest du gut zurechtkommen.

Link: www.mathebaustelle.de/analysis/funktionen/kdisk_grad3_x^3-2x^2.pdf.

Ich hoffe, das hilft dir!

Liebe Grüße

Answer 2

x³  -3x²  !!

1.Abl ----->  3x² - 6x

2.       -----> 6x - 6

3.       -----> 6

Nullstellen  : (3;0)  und (0;0)

x = 2,0   → Extrempunkt bei (2I4 ) und (0 I0 )

Wendepunkt :  ( 1I  - 2)

Verhalten  lim  x--->∞  =  -  ∞  /  + ∞

keine Symmetrie !!

Answer 3

Symmetrie?

Achsensymmetrie:

f(x) = f(-x)

x³-3x² ≠ (-x)³ - 3*(-x)²

x³-3x² ≠ -x³ -3x

Es kommt nicht der selbe Term raus, daher ist es nicht Achsensymmetrisch

Punktsymmetrie:

-f(x)= f(-x)

 -(x³-3x²) ≠ -x³ -3x

-x³ + 3x² ≠-x³ -3x

Ebenfalls keine Übereinstimmung. Es liegt keine Symmetrie vor.

Nun bilden wir die Ableitungen

f(x) = x³-3x²  

f'(x)= 3x² - 6x

f''(x)= 6x - 6

f'''(x)= 6

Für die Nullstellen ist besonders f(x) wichtig.

f(x) = x³ - 3x² = 0

0 = x² (x - 3)

Was muss x sein, damit alles 0 wird ? Man fakotiert mit 0, sodass der gesamte Term gleich 0 wird. Daher ist x1 = 0, da wir direkt mit 0 multiplizieren würden und x2 = 3, da in der Klammer dann 3-3 stünde, was ebenfalls 0 ist.

NS: (3|0)   und  (0|0)

Extremstellen:

f'(x)= 3x² - 6x

0=3x² - 6x | :3 

0=x² - 2x | x ausklammern

0= x(x-2)

gleicher Sachverhalt wie oben, was ist x, damit alles 0 wird ?

x1=0 x2= 2 

Nun einsetzen in f(x)

f(0) = 0³-3*0² = 0    Ex1: (0|0)

f(2) = 2³-3*2² =-4  Ex2: (2|-4)

Hoch- oder Tiefpunkt?

Einsetzen der x Werte in f''(x)

f''(0)= 6*0 - 6= -6   -6< 0 HP

f''(2)= 6*2 - 6= 6       6> 0 TP

Wendepunkte:

Dazu ebenfalls f''(x) anschauen:

f''(x)= 6x - 6

0= 6x - 6

6=6x | :6

1=x

WP bei x=1.

Einsetzen in f(x)

f(1) = 1³-3*1² =1-3 = -2

WP: (1|-2)

Links-Rechts oder Rechts-links ?

f'''(x) ist gefragt !

f'''(x)= 6 6>0 daher ist es ein Rechts-Links Wendepunkt

Wie sieht der Graph aus? Passt alles was wir gerechnet haben?

~plot~ x^3 - 3x^2 ~plot~

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