Ich frage mich, wie der markierte Schritt funktioniert. Wieso darf man dort so substituieren und woher kommt das (b-a) for dem integral und wieso ändern sich die Grenzen?
Aufgabe (Rechteckregel für freie Knoten):
Ein anderer Ansatz zur Herleitung von Quadraturformeln besteht darin, die Knoten frei varieren zu lassen. Bei einem einzigen Knoten \( x_{0} \in[a, b] \) mit Gewicht \( \omega_{0} \) ergibt sich die Formel
\( \int \limits_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \approx(b-a) \omega_{0} f\left(x_{0}\right) \)
Bestimmen Sie Werte für \( \omega_{0} \) und \( x_{0} \) so, dass die Quadraturformel beliebige Polynome bis zum Grad 1 exakt integriert. Betrachten Sie dabei zuerst den Speziallfall \( a=0 \) und \( b=1 \) und bestimmen Sie anschließend die Formel für den Allgemeinfall.
Lösung:
Damit die Quadraturformel alle Polynome bis zum Grad 1 exakt integriert, muss sie genau für alle Polynome vom Grad höchstens 1 exakt sein. Da die Polynome \( p_{0}(x)=1 \) und \( p_{1}(x)=x \) eine Basis vom Vekrorraum aller Polynome mit Höchstgrad 1 bilden, ist es ausreichend, die Exaktheit nur für diese Polynome zu zeigen. Also:
\( \int \limits_{0}^{1} 1 \mathrm{~d} x=1 \stackrel{!}{=} \omega_{0} f\left(x_{0}\right)=\omega_{0} \quad \) und \( \quad \int \limits_{0}^{1} x \mathrm{~d} x=\frac{1}{2} \stackrel{!}{=} \omega_{0} f\left(x_{0}\right)=\omega_{0} x_{0} \)
Daraus ergibt sich zunächst \( \omega_{0}=1 \) und damit \( x_{0}=\frac{1}{2} \), also
\( \int \limits_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x \approx f\left(\frac{1}{2}\right) \)
Für den allgemeinen Fall substitutieren wir \( \textcolor{#F00}{ x=a+(b-a)t } \) und erhalten
\( \begin{aligned} \textcolor{#F00}{ \int \limits_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x } & \textcolor{#F00}{ =(b-a) \int \limits_{0}^{1} f(a+(b-a) t) \mathrm{d} t } \\ & \approx(b-a) f\left(a+\frac{b-a}{2}\right) \\ &=(b-a) f\left(\frac{a+b}{2}\right) \end{aligned} \)
