Ableiten mit Hilfe der Produktregel : f(x)= -x (1-x^2)^{-1/2}

Question

Die Formel lautet wie folgt: f(x)= -x (1-x^2)^{-1/2}

 

Das soll jetzt abgeleitet werden mit der Produktregel.

 

Was ist äußere und was innere?

 

Wenn -x die äußere ist, dann ist -x abgeleitet = -1

Wenn (1-x^2)^{-1/2} die innere ist, dann ist sie abgeleitet = -1/2*(2x)^{-3/2} ?

Answer 1

Wenn -x die äußere ist, dann ist -x abgeleitet = -1

Wenn (1-x²)^-1/2 die innere ist, dann ist sie abgeleitet = -1/2*(2x)^-3/2 ?

Nein!

Wenn -x ist der erste Faktor, dann ist -x abgeleitet = -1. Stimmt.

Wenn (1-x²)^-1/2 ist der zweite Faktor, dann ist sie abgeleitet = -1/2*(2x)^-3/2 ?

Nein. Hier musst du zusätzlich die Kettenregel benutzen.

Innere Funktion u = 1 -x^2 mit Ableitung u' = -2x

äussere Funktion u^{-1/2} . Ableitung -1/2 u^{-3/2}

zusammen: Ableitung der 2. Faktors:
-1/2 (1 + x^^2)^{-3/2} *( -2x) = (1 + x^2)^{-3/2} * x

 

Alles zusammensetzen

f(x)= -x (1-x²)^-1/2

f ' (x) = - 1 *  (1-x²)^-1/2 + (-x) * (1+x^2)^{-3/2} * x)

= bitte nachrechnen und selbst noch fertig vereinfachen.

Kontrolle: https://www.wolframalpha.com/input/?i=f%28x%29%3D+-x+%281-x%5E2%29%5E%28-1%2F2%29+