\sum _{ k=2 }^{ n }{ k{ 2 }^{ k-1 }=(n-1){ 2 }^{ n } } n≥2 Vollständige Induktion

Question

$$\sum _{ k=2 }^{ n }{ k{ 2 }^{ k-1 }=(n-1){ 2 }^{ n } }$$   n≥2

Kann mir jemand den Induktionsschluss komplett vorrechnen?

Ich komme einfach nicht auf:

$$((n+1)-1){ 2 }^{ n+1 }$$

Answer 1

Für n=2:

$$\sum_{k=2}^n k2^{k-1}=\sum_{k=2}^2 k2^{k-1}=2 \cdot 2^{k-1}=2^k=(n-1)2^n \checkmark$$

Wir nehmen an dass für n ≥2 folgendes gilt:

$$\sum_{k=2}^n k2^{k-1}=(n-1)2^n$$

Wir wollen zeigen dass $$\sum_{k=2}^{n+1} k2^{k-1}=n2^{n+1}$$


$$\sum_{k=2}^{n+1} k2^{k-1}= \sum_{k=2}^n k2^{k-1}+ (n+1) 2^n=(n-1)2^n+(n+1)2^n=2^n(n-1+n+1)=2^n(2n)=2^{n+1}n$$