Vollständige Induktion sum(k=1,n-1) 1/k >= ln(n)

Question

Hallo an alles,

kämpfe gerade mit meiner Aufgabe. Die Vollständige Induktion ist nicht so schwer nur stehe ich bestimmt auf den Schlauch. Ich hoffe jemand kann mir weiterhelfen. Ich habe natürlich auch vorgearbeitet.

$$\sum _{ k=1 }^{ n-1 }{ \frac { 1 }{ k }  } \ge ln(n)\quad mit\quad n\quad in\quad N,\quad n\quad \ge \quad 2$$

Schritt 1: I.Anf. (n=2)

L: = 1/1 = 1

R:= ln(2) = 0,693

Schritt 2: I.Ann.

Ich schreibe nur die Annahme selbst. $$\sum _{ k=1 }^{ n-1 }{ \frac { 1 }{ k }  } \ge ln(n)\quad mit\quad n\quad in\quad N,\quad n\quad \ge \quad 2$$

Schritt 3: I. S.

z.z. $$\sum _{ k=1 }^{ n }{ \frac { 1 }{ k }  } \ge ln(n+1)$$

$$\sum _{ k=1 }^{ n }{ \frac { 1 }{ k }  } \ge ln(n+1) =\sum _{ k=1 }^{ n-1 }{ \frac { 1 }{ k }  } +\frac { 1 }{ n } \ge ln(n)+\frac { 1 }{ n } \ge ln(n+1)$$

Für mich persönlich wäre hier jetzt Schluss wenn nicht mein Tutor wäre. Er gab mir den Hinweis

$$ln(x)\le x-1$$

wo ich den aber reinringen soll habe ich überhaupt keine Ahnung.

Gruß

Anderlin

Answer 1

Deine letzte Ungleichung
ln(n) + 1/n ≥ ln(n+1) hast du nicht bewiesen.
geht vielleicht so
           1/n ≥                  ln(n+1) -ln(n) =   ln ( 1+ 1/n)
und jetzt kommt der Schlaue Tutor mit x= 1+1/n ins Spiel.

Comments

Danke, habe ich überhaupt nicht dran gedacht, dass man es ja auch beweisen muss was man schreibt.  Ich schreibe mal kurz auf was ich jetzt gemacht habe.

Letzter Schritt.

$$ln(n)+\frac { 1 }{ n } \ge ln(n+1)\quad Als\quad Beweis\quad ln(n)+\frac { 1 }{ n } \ge ln(n+1)\quad \Longleftrightarrow \frac { 1 }{ n } \ge ln(n+1)-ln(n)=ln(\frac { n+1 }{ n } )=ln(1+\frac { 1 }{ n } )$$

Jetzt den Hinweis:

$$ln(1+\frac { 1 }{ n } )\le 1+\frac { 1 }{ n } -1=\frac { 1 }{ n } $$

was dann auch die Annahme Beweist.

Ich danke dir für deine Hilfe.

Gruß

Anderlin