Induktion für alle n \in \mathbb{N} ,sodass gilt \sum \limits_{i=0}^{n} a^{i} \leqq 2 \cdot a^{n} für alle a \geqq 2

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie per Induktion, dass für alle \( n \in \mathbb{N} \) gilt, dass

 \( \sum \limits_{i=0}^{n} a^{i} \leq 2 \cdot a^{n} \) für alle \( a \geq 2 \) ist.

Problem/Ansatz:

?

Answer 1

Hallo

wie Induktion läuft weisst du? zeige es für n=0 oder 1 als Anfang, dann schließe von n auf n+1,wo kommst du dabei nicht weiter?

Gruß lul

Comments

ich war verwirrt, welches +1 es ist; n oder bei a. Also dann nichts beim a machen sondern einfach n+1

Der Induktionsschritt:

So würde ich es machen:

\( \sum \limits_{i=0}^{n+1} a^{i}=\sum \limits_{i=0}^{n} a^{i}+a^{n+1} \leqq 2 \cdot a^{n}+a^{n+1} \)

Stimmt das? Bin mir echt unsicher

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falls mein Induktionsschritt richtig ist, ist ja jetzt das Ziel 2⋅aⁿ+aⁿ⁺¹  irgendwie zu 2⋅aⁿ⁺¹ umzuformen, oder?

Ich weiß nicht, wie ich das machen kann.

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Korrektur: die n+1 aus dem Induktionsschritt in der Potenz wir mit einem *a ergänzt.

Also so IS: \( \sum \limits_{i=0}^{n+1} a^{i}=\sum \limits_{i=0}^{n} a^{i} \cdot a \leqslant 2 \cdot a^{n} \cdot a \)
Es soll sein: \( 2 \cdot a^{n} \cdot a \geqslant 2 \cdot a^{n+1} \)

Wegen den Potenzgesetzen ist die Gleichung ja schon erfüllt.

Wars das schon?

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\( \sum \limits_{i=0}^{n+1} a^{i}=\sum \limits_{i=0}^{n} a^{i} \cdot a \leqslant 2 \cdot a^{n} \cdot a \)

Nein. Die Rechnung hat nichtsmehr mit deiner Aussage zu tun.

Du meinst wohl

\( \sum \limits_{i=0}^{n+1} a^{i}=\left(\sum \limits_{i=0}^{n} a^{i}\right) + a^{n+1} \leq 2 \cdot a^{n} + a^{n+1} \)

Und jetzt denk daran, dass \(a\geq 2\) gilt. Siehst du es jetzt? :-)

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hmm... Also irgendwie kommt da nichts.

Wenn Ichs einsetzte stimmt es ja, aber ist das so gedacht :2*2⁰+2⁰⁺¹>2*2⁰⁺¹

 --> 2+2>= 2*2  --> 4>=4  --> wahr

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Wie kannst du denn den Term \(2\cdot a^n\) nachoben abschätzen, wenn du weißt, dass \(2\leq a\) gilt?

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Sorry, bin grad raus. Ich blick an dieser Stelle nichts mehr. Ich wusst nicht mal, dass ich es nach oben abgeschätzt habe bzw. was das genau bedeutet.

Mein Gedankengang war halt einfach nach Anleitung, dass man irgendwie von dem Term nach > aus dem Induktionsschritt auf die Form aus der IVoraussetzung kommen soll. und das größer als das von der IV sein muss ???

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Ok, es ist wirklich recht banal, wenn man richtig hinschaut:

\(2\cdot a^n \stackrel{a\geq 2}{\leq } a\cdot a^n=a^{n+1}\).

Jetzt klar?