Reelle Lösung für Gleichung in Abhängigkeit zu Konstanten a und b

Question

Ich möchte die reellen Lösungen in Abhängigkeit der Konstanten a und b folgender Gleichung bestimmen:

$$ a{ e }^{ -2x }+b{ e }^{ x }\quad =\quad 0 $$

Durch Substitution müsste man vermutlich auf eine richtige Lösung kommen, aber wie funktioniert das mit ae^{-2x}

Answer 1

a/(e^x)^2 +b *e^x=0

Substitution: z= e^x

a/z^2 +bz=0

a +b*z^3=0

usw.

dann noch resubstituieren nicht vergessen.

Comments

Danke für die Antwort, wie kommst du denn auf a +b*z³=0 ?  a/z² +bz=0 | * z^2 ?

Wie kann ich dann von a +b*z³=0 die Lösung bestimmen ?

danke für deine Antwort

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wie kommst du denn auf a +b*z³=0 ?  a/z² +bz=0 | * z² ? ->ja

dann nach z auflösen

z= (-a/b) ^{1/3}

Resubstitution:

z=e^x -->

e^x= (-a/b) ^{1/3}

e^{3x}= - a/b

usw.

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Danke für die Erklärung !

Answer 2

a * e^{-2x} +b *e^x=0
a * e^{-2x} = -b *e(x)
a / -b = e^x/ e^{-2x}
-a / b = e^x * e^{2x} = e^{3x}
e^{3x} = -a / b

Answer 3

durch e^x oder durch e^-2x kann bedenkenlos geteilt werden. ich denke, das geht schneller.

$$ a = 0 ; b = 0: $$

x ist beliebig

$$ a\neq0 ; b=0 $$

oder

$$ a=0 ; b\neq0: $$

keine Lösung

$$ a\neq0 ; b\neq0: $$

x = 1/3 * ln(-a/b)