Wann sollte man einen Divisionsalgorithmus durchführen (Funktionsanalyse)?

Question

Gebrochenrationale-Funktionsalanyse

Meine Frage ist : Wann ist es sinnvoll einen Divisionsalgorythmus durchzuführen, wenn man das Verhalten der Funktion von x→±∞ durchsucht.

Bsp

Bei: (2-x²) ÷ (x² -9) ist die Division nicht nötig

Bei: (-x³+2) ÷ 2x  hingegen ist sie durchaus sinnvoll, da man sonst die Asymtote -0.5x² nicht erhält.

Vielen  Dank im voraus für Antworten^^

Answer 1

Immer dann, wenn der Grad im Zähler größer ist als der Grad
im Nenner ist Division für die Asymptote sinnvoll.

Answer 2

Hi,

statt Divisionsalgorythmus muss es Divisionsalgorithmus heißen, besser wäre ohnehin Division,

das Verhalten wird nicht durchsucht, sondern untersucht,

statt Asymtote muss es Asymptote heißen, besser wäre hier asymptotische Funktion, und

statt im voraus muss es im Voraus heißen.

"Beispiel: Bei (2-x²) ÷ (x² -9) ist die Division nicht nötig." Das mag daran liegen, dass das Ergebnis \(y=-1\) recht offensichtlich ist. Aber das ist es "Bei: (-x³+2) ÷ 2x" meiner Meinung nach auch. Vielleicht kann man es so zusammenfassen:

Um zu einer unecht gebrochen-rationalen Funktion mit einem Polynomquotienten als Funktionsterm, dessen Zählergrad größer oder gleich seinem Nennergrad ist, den ganzrationalen Anteil zu bestimmen, kann man immer das Zählerpolynom durch das Nennerpolynom teilen. Dies lässt sich in übersichtlichen Fällen im Kopf erledigen, sonst greift man auf den Divisionsalgorithmus zurück.

Ein sicher übersichtlicher Fall wäre etwa ein Monom im Nenner.

Ist der Zählergrad kleiner als der Nennergrad, gibt es nichts zu tun und die Asymptote ist immer \(y=0\).