alle Vektoren auf (2 gegebene Vektoren) über Z/3Z

Question

Schreiben Sie alle Vektoren auf, die von (1, 1, 1), (1, 0, 1), über ℤ/3ℤ erzeugt werden

Ich habe keine Ahnung was Ich jetzt mit den beiden Vektoren machen soll. Vor allem verstehe Ich den Zusammenhang mit den Restklassenring nicht.

Kann mir hier jemand auf die Sprünge helfen was gemeint ist?

Answer 1

Wenn der Körper Z/3Z ist, gibt es ja nur die Elemente 0,1,2
Du musst also alle Linearkombinationen von (1, 1, 1), (1, 0, 1)
mit diesen Zahlen als Faktoren bilden, etwa so
0*(1, 1, 1)+0* (1, 0, 1)=(0,0,0)
1*(1, 1, 1)+0* (1, 0, 1)=
2*(1, 1, 1)+0* (1, 0, 1)=
0*(1, 1, 1)+1* (1, 0, 1)=
1*(1, 1, 1)+1* (1, 0, 1)=
2*(1, 1, 1)+1* (1, 0, 1)=
0*(1, 1, 1)+2* (1, 0, 1)=
1*(1, 1, 1)+2* (1, 0, 1)=
2*(1, 1, 1)+2* (1, 0, 1)=  (4,2,4) = (1,2,1)   wegen  Z/3Z
und wenn etwas größeres als 2 rauskommt  eben die Reste bilden.

Comments

Also:

0*(1, 1, 1)+0* (1, 0, 1)=(0,0,0)
1*(1, 1, 1)+0* (1, 0, 1)= (1,1,1)
2*(1, 1, 1)+0* (1, 0, 1)=  (2,2,2)
0*(1, 1, 1)+1* (1, 0, 1)= (1,0,1)
1*(1, 1, 1)+1* (1, 0, 1)= (2,1,2)
2*(1, 1, 1)+1* (1, 0, 1)= (3,2,3) = (0,2,0)
0*(1, 1, 1)+2* (1, 0, 1)= (2,0,2)
1*(1, 1, 1)+2* (1, 0, 1)= (3,1,3) = (0,1,0)
2*(1, 1, 1)+2* (1, 0, 1)=  (4,2,4) = (1,2,1)

Vielen Dank für die Antwort :-D

Du hast mir das Leben gerettet :-P