Bestimmen Sie die Gleichungen der Tangenten von Punkt aus an den Kreis. Unter welchem Winkel schneiden diese Tangenten?

Question

Aufgabe Kreise und Kugeln:

In einem kartesischen Koordinatensystem seien der Kreis \( \mathrm{k}_{1}:(\mathrm{x}-2)^{2}+(\mathrm{y}+3)^{2}=65 \) und die Punkte \( \mathrm{A}(4 \mid-6), \mathrm{B}(1 \mid-8) \) und \( \mathrm{C}(27 \mid-8) \) gegeben.

a) Untersuchen Sie die Lage der Geraden g, die durch A und B geht, zum Kreis \( \mathrm{k}_{1} \).

b) Untersuchen Sie die Lage des Punktes \( \mathrm{C} \) zu dem Kreis \( \mathrm{k}_{1} \).

c) Bestimmen Sie die Gleichungen der Tangenten von Punkt \( \mathrm{C} \) aus an den Kreis \( \mathrm{k}_{1} \). Unter welchem Winkel schneiden sich diese Tangenten?

d) Gegeben sei ein weiterer Kreis \( \mathrm{k}_{2} \) um den Mittelpunkt \( \mathrm{M}_{2}(7,5 \mid-4,5) \) mit dem Radius \( \mathrm{r}_{2}=\sqrt{32,5} \)

Berechnen Sie den Abstand der Kreismittelpunkte \( \mathrm{M}_{1} \) und \( \mathrm{M}_{2} \) voneinander und folgern Sie daraus die Lage der zwei Kreise \( \mathrm{k}_{1} \) und \( \mathrm{k}_{2} \) zueinander.

Bestimmen Sie ggf. gemeinsame Punkte von \( \mathrm{k}_{1} \) und \( \mathrm{k}_{2} \).

Answer 1

c) Tangentengleichung allgemein mit Berührpunkt (b1/b2) und Kreis
umd (m1/m2) mit Radius r
  (x-m1)(b1-m1) + (y-m2)(b2-m2)=r^2
Bekanntes einsetzen
 (27-2)(b1-2)+(-8+3)(b2+3)=65
gibt b2=5b1-26  in Kreisgleichung einsetzen, denn
der Berührpunkt lieht ja auch auf dem Kreis, gibt
(b1-2)^2 + (5b1-26+3)^2 = 65
gibt b1=6 oder b1= 3 
Das sind die x-Koordinaten der Berührpunkte.

Comments

d) k2:   (x-7,5)^2 + (y+4,5)^2 = 32,5

Abstand  d(M1;M2) = wurzel( (7,5-2)^2 + ( - 3 + 4,5)^2 ) =wurzel(32,5)
d.h. der 1. Mittelpu. liegt auf dem 2. Kreis und der 1. Radius ist kleiner
als der 2. Durchmesser, also schneiden sich die Kreise in 2 Punkten.
Berechnung:
(x-2)^2    + (y+3)^2     = 65
(x-7,5)^2 + (y+4,5)^2 = 32,5
Klammern auflösen und Gleichungen voneinander subtrahieren gibt
11x - 3y - 63,5 = 32,5    also  11x - 3y = 96
                                                          y = 11/3 x - 32
Das ist die Gerade durch die beiden Schnittpunkte in eine
der Kreisgleichungen eingesetzt ( ich nehme die 1.) gibts
(x-2)^2    + ( 11/3 x - 32+3)^2     = 65
gibt ungefähr x=8,4  oder x = 5,1 
Das sind die x-Koordinaten der SP'e.