Wie löse ich diese Integralgleichung mit einer Untergrenze von (-k)? ∫_(-k)^1 (1-x^2) dx = 2/3

Question

Aufgabe:

Wie löse ich diese Integralgleichung mit einer Untergrenze von (-k)?

\( \int \limits_{-k}^{1}\left(1-x^{2}\right) d x=\frac{2}{3} \)

Meine Stammfunktion ist wohl \( \frac{2}{3}+k+\frac{1}{3} k^{3} \)

Verstehe nur leider nicht wie ich da hin kommen soll, geschweige denn wie ich F(1) und F(-k) berechnen soll.

Answer 1

Die Stammfunktion ist ganz normal.

F(x) = x - 1/3 x^3 + C.

Nun setzt du die Grenzen ein und das geforderte Resultat.

1 - 1/3 + C - ((-k) - 1/3(-k)^3 + C) =  2/3

Jetzt Klammern sorgfältig auflösen.

Es bleibt eine Gleichung für k. Bestimme k.

Meine Rechnung (ohne Gewähr!).

1 - 1/3 + C - ((-k) - 1/3(-k)³ + C) =  2/3 

k - 1/3 k^3 = 0

1/3 k( 3 - k^2) = 0

1/3 k( √3 - k)(√3 + k) = 0

k1 = 0

k2 = √3

k3 = -√3

Kontrolle: Alle 3 Resultat im gegebenen Integral einsetzen und schauen, ob 2/3 rauskommt.

 

Comments

Mir fehlte irgendwie der Weg zu meiner Stammfunktion..saß wohl auf dem Schlauch. Merci

Answer 2

Die Stammfunktion F(x) ist:

$$ F(x)= -\frac{1}{3}x^3+x $$

Das bestimmte Integral berechnet sich mit den Integrationsgrenzen -k und 1 zu F(1)-F(-k), es ist also:

$$ \Big(-\frac{1}{3} \cdot 1^3+1\Big)-\Big(-\frac{1}{3}\cdot(-k)^3+(-k) \Big)= \frac{2}{3}$$

das lösen wir nun nach k auf. Es wird:

$$ \frac{-k^3}{3}+k=0 $$

$$ \Rightarrow k(\frac{-k^2}{3}+1)=0 $$

$$\Rightarrow k_1=0 $$

$$ \Rightarrow -\frac{1}{3}k^2+1=0$$

$$ \Rightarrow k_{2,3}=\pm\sqrt{3}$$

Wir haben also 3 mögliche Lösungen für den Parameter k, welche die Integralgleichung erfüllen.