Extremwertaufgabe: Zielfunktion für die Berechnung des Volumens des Zylinders

Question

Aufgabe:

2.0 Für die Produktion von Eisverpackungen eignen sich Kreiszylinder. Aus energietechnischen Gründen soll die Oberfläche der Verpackung 400 cm³ betragen.

2.1 Zeigen Sie, dass die Funktion \( V(r) = 200r - \pi r^3 \) eine Zielfunktion für die Berechnung des Volumens des Zylinders ist.

2.2 Ermitteln Sie das maximale Volumen zum gegebenen Oberflächeninhalt und geben Sie die Höhe h dieses Zylinders an.

Answer 1

Aufgabe 2.1:

Oberfläche Kreiszylinder: O=2·π·r·(r+h)
400=2·π·r·(r+h) nach h auflösen
200=π·r·(r+h)
200=π·r²+π·r·h

200-π·r²=π·r·h

$$\frac { 200 }{ \pi \cdot r } -\frac { \pi \cdot r² }{ \pi \cdot r } =h$$

$$\frac { 200 }{ \pi \cdot r } -r=h$$

h in der Formel für das Volumen ersetzen:

V=π·r²·h

$$V=\pi \cdot r²\cdot \left( \frac { 200 }{ \pi \cdot r } -r \right) $$

V=200·r-π·r³

Aufgabe 2.2

V(r)=200r-πr³
V'(r)=200-3πr²
V'(r)=0 notwendige Bedingung für Extrema
200-3πr²=0
200=3πr²
$$\frac { 200 }{ 3\pi } =r²$$
$$\pm \sqrt { \frac { 200 }{ 3\pi }  } =r$$
das negative Ergebnis macht hier keinen Sinn
also r≈4,6

man müsste nun noch untersuchen, was die 2. Ableitung an dieser Stelle macht

maximales Volumen berechnen:

V(r)=200r-πr³
$$V\left( \sqrt { \frac { 200 }{ 3\pi }  }  \right) =200\cdot \sqrt { \frac { 200 }{ 3\pi }  } -\pi \cdot { \sqrt { \frac { 200 }{ 3\pi }  }  }^{ 3 }$$
$$V\left( \sqrt { \frac { 200 }{ 3\pi }  }  \right) \approx 614,21$$

Höhe berechnen
V=πr²h
$$V\left( \sqrt { \frac { 200 }{ 3\pi }  }  \right) =\pi \cdot { \sqrt { \frac { 200 }{ 3\pi }  }  }^{ 2 }\cdot h$$
$$V\left( \sqrt { \frac { 200 }{ 3\pi }  }  \right) =\pi \cdot { \frac { 200 }{ 3\pi }  }\cdot h$$
$$V\left( \sqrt { \frac { 200 }{ 3\pi }  }  \right) ={ \frac { 200 }{ 3 }  }\cdot h$$
$$V\left( \sqrt { \frac { 200 }{ 3\pi }  }  \right) \cdot \frac { 3 }{ 200 } =h$$
9,2≈h