Mit Partialbruchzerlegung Integral bestimmen: f(x) = (x^2-5x)/(x(x^2+1))

Question

$$\int \frac {x^2-5x}{x \cdot (x^2+1)} dx$$

...soll mit Partialbruchzerlegung gelöst werden. 

Die PBZ ist kein Problem für mich, ich erhalte als Partialbruch:

$$\int \frac {x-5}{x^2+1}dx = \int \frac {x}{x^2+1}dx -5\int \frac{1}{x^2+1}dx$$

$$u = x^2+1$$

$$\frac {1}{2}\int \frac {1}{u}du -5\int \frac{1}{u}du \overset{\text{Rücksubstitution}}= \frac {1}{2}ln|x^2+1|-5ln|x^2+1| + C$$

Die Musterlösung hat als Subtrahenden in der Lösung aber: $$5\cdot arctan(x) + C$$
Wieso?

Answer 1

Hallo

Du hast das 2. Integral falsch berechnet.

Das x kürzt sich hier , wie beim 1. Integral nicht weg.

Außerdem ist int 1/(x^2+1) dx  ein Grundintegral , nämlich  arc tan(x) .

Comments

Meinst Du das Integral auf der zweiten Zeile? 

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Hallo

ja

dieses meine ich:

5 int 1/(x^2+1 )

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Aber dort habe ich ja eigentlich kein x gekürzt. :/

Answer 2

Schreibe deine Substitution explizit hin. 

u = x^2 + 1

du/dx = 2x

du / (2x) = dx 

Nun dx durch du/ (2x) ersetzen.

Beim ersten Integral bringst du das (2x) unten tatsächlich wieder weg.

Bei deinem zweiten Integral aber nicht.

Du musst wissen, dass g(x) = 1/(1+x^2) die Stammfunktion G(x) = arctan(x) + C ist. 

Comments

Ach so, das habt ihr gemeint. Aber das Problem ist doch dann, dass ich im zweiten Integral das x gar nicht wegbringe. Wie soll ich denn dann integrieren?

$$-5\int \frac {1}{u2x}du$$

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Ja. Genau. Das geht nicht. Du musst die fragliche Stammfunktion einfach kennen.

D.h. wissen (oder nachschlagen in Formelsammlung), dass 

∫ 1/(1+x^2) dx = arctanx + C.

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Ich glaube, ich verstehe das jetzt. Nicht substitutioniert erhalte ich das hier:

$$-5\int \frac {1}{u2x}du$$ 

Normalerweise müsste ich ja nun nach u integrieren. Was aber wegen 2x nicht geht. 

Folglich ist das ein Hinweis (wenn mir das vorher schon nicht aufgefallen ist, dass ich ein Grundintegral vor mir habe. Also Substitution rückgängig machen und das Ding nachschlagen.

Hoffe, das ist so richtig gedacht.

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Ja. Das kannst du so sagen.

Wenn das x zusammen mit dem u stehenbleibt, war die versuchte Substitution nicht erfolgreich. Ob dann aber vielleicht partielle Integration geholfen hätte, weisst du eigentlich noch nicht.

Am besten schaust du die Liste der Grundintegrale mal genauer an, dann kommt dir die Idee mit dem arctan nächstes Mal sicher schon etwas früher.

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Wie immer herzlichen Dank Lu!