ich muss zeigen, dass folgende Relation Äquivalenzrelationen ist und die Äquivalenzklassen bestimmen.
$$X = \mathbb{R}^{2}$$
$$(x,y) \sim (u,v) \Leftrightarrow x - y = u - v$$
Die Relationseigenschaften beweisen ist gegangen glaube ich:
Reflexiv:
$$(x,y) \sim (x,y) \Leftrightarrow x - y = x-y$$
Symmetrisch:
$$(x,y) \sim (u,v) \wedge (u,v) \sim (x,y) \Leftrightarrow x - y = u - v \wedge u - v = x - y$$
(Mit Zahlenbeispiel zur Not)
Transitiv:
$$(x,y) \sim (u,v) \wedge (u,v) \sim (a,b)$$
$$x-y = u-v \wedge u-v = a-b \Leftrightarrow x-y = a-b $$
Nur wie ich die Äquivalenzklassen bestimmt habe bin ich mir unsicher.
Ich habe zuerst probiert eine Menge aus den Variablen zu bilden, die die Relationseigenschaften erfüllt, dann könnte ich leicht die Äquivalenzklassen ablesen.
$$ R= \left \{ [(x,y),(u,v)],[(u,v),(x,y)],[(x,y),(x,y)],[(u,v),(u,v)] \right \}$$
Das sollte alle Relationseigenschaften erfüllen.
Nur erstens bin ich mir nicht sicher, ob ich die Tupels so verwenden soll, aufgrund von R² oder die Variablen einzeln anschauen muss, und zweitens habe ich so die rechte Seite der Äquivalenz komplett ignoriert. (x - y = u - v)
Oder ob ich sowieso etwas mit echten Zahlen machen muss.
Die Äquivalenzklassen da abgelesen wären:
$$[(x,y)] = \left \{ (x,y),(u,v) \right \}$$
$$[(u,v)] = \left \{ (x,y),(u,v) \right \}$$
Also die gleiche, würde auch den Satz erfüllen:
$$a \sim b \Rightarrow [a] = [b]$$
Habe ich das so richtig gemacht oder falsch?
