Aufgabe Analysis:
Gegeben sind die reellen Funktionen
\( f_{a}(x)=x^{3}+3 x^{2}+a x \text { mit } a \in \mathbb{R} \text { und } x \in \mathbb{R} \text {. } \)
Der Graph einer solchen Funktion \( f_{a} \) in einem kartesischen Koordinatensystem wird mit \( \mathrm{G}_{\mathrm{a}} \) bezeichnet.
3.1.0 In dieser Teilaufgabe kann a jeden reellen Wert annehmen. Führen Sie die folgenden Berechnungen in Abhängigkeit von a durch.
3.1.1 Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktionen \( \mathrm{f}_{\mathrm{a}} \). Geben Sie deren Anzahl in Abhängigkeit von a an.
3.1.2 Untersuchen Sie die Funktionen \( f_{a} \) auf relative Extremstellen und deren Art.
3.1.3 Untersuchen Sie die Funktionen \( \mathrm{f}_{\mathrm{a}} \) auf Wendepunkte und geben Sie deren Koordinaten an.
3.2.0 In dieser Teilaufgabe wird \( \mathrm{a}=-4 \) gesetzt.
3.2.1 Bestimmen Sie für die Funktion \( f_{-4}(\mathrm{x}) \) die Nullstellen, die Koordinaten der Extrempunkte und des Wendepunktes.
3.2.2 Weisen Sie nach, dass der Graph der Funktion \( f_{-4}(x) \) punktsymmetrisch zu \( P(-1 \mid 6) \) ist.
3.2.3 Zeichnen Sie den Graphen \( G_{-4} \) der Funktion \( f_{-4}(x) \) im Intervall \( -4,5 \leq x \leq 2 \) auf ein
Extrablatt DIN A4 im Hochformat (Maßstab auf der x-Achse: \( 1 ~ \mathrm{LE}=1 \mathrm{~cm} \),
auf der y-Achse: \( 1 \mathrm{LE}=0,5 \mathrm{~cm} \) ).
3.3.0 In dieser Teilaufgabe bleibt a \( =-4 \). Der Graph \( \mathrm{G}_{-4} \) der Funktion \( \mathrm{f}_{-4}(\mathrm{x}) \) und die \( \mathrm{x} \)-Achse im Bereich \( \mathrm{x} \leq 0 \) begrenzen vollständig eine Fläche \( \mathrm{A} \).
3.3.1 Berechnen Sie die Maßzahl dieser Fläche \( \mathrm{A} \).
3.3.2 Eine Gerade g schneidet den Graphen der Funktion \( \mathrm{f}_{-4}(\mathrm{x}) \) in den Punkten \( P_{1}\left(-4 \mid f_{4}(-4)\right) \) und \( P_{2}\left(-2 \mid f_{-4}(-2)\right) \)
Tragen Sie diese Gerade \( \mathrm{g} \) in die Zeichnung der Aufgabe 3.2.3 ein.
Die Gerade g teilt die Fläche \( \mathrm{A} \) in zwei Teilflächen \( \mathrm{A}_{1} \) und \( \mathrm{A}_{2} \).
Berechnen Sie das Teilungsverhältris \( \mathrm{A}_{1} \mathrm{zu} \mathrm{A}_{2} \).
Ansatz/Problem:
Ich suche die Lösungen mit kleinem Rechenweg ab Aufgabe 3.1.2.
