Nullstellen in Abhängigkeit von a (Parameter), a^{2}x-e^{ax}

Question

Die Gleichung ist a^{2}x - e^{ax}. Nun will ich die Nullstellen in Abhängigkeit von a berechnen, also:

0 = a^{2}x - e^{ax}

wie komme ich jetzt weiter? (In der ursprünglichen Aufgabenstellung war a > 0, aber ich will wissen wie die Nullstellen von a abhängen, wenn a < 0 wären)

Answer 1

Algebraisch kann man das nicht lösen. Man kann die Gleichung nicht nach x umstelllen.
Für konkrete Wert für a benötigst du ein Näherungsverfahren oder eine graph. Lösung.

Answer 2

Die Aufgabe  0 = a²x - e^ax  hat keine Nullstellen.

Denke , die Aufgabe  lautet:  0 = a^{2x}  - e^ax 

Comments

Also man kann nicht sagen wo die Nullstellen in Abhängigkeit von a sind (in einem Term wie xE= 2a angegeben), sondern man könnte dann für a z.B. = e sagen, dass die Nullstelle von f(x) bei N(e|0) liegt?)

vielen Dank schon mal für die Hilfe!

Answer 3

Seit dem 18. Jh. ist die Umkehrfunktion zu x*e^x bekannt: LambertW(n,x)

(siehe auch Wikipedia; manchmal auch ProductLog genannt)

0 = a²*x - e^{a*x}

e^{a*x}=a²*x + 0 ist genau §5 in

http://www.lamprechts.de/gerd/LambertW-Beispiele.html

mit c=0 und b=a²

x=-LambertW(n, -a/[b*e^{a*c/b}])/a - c/b mit n=-2,-1,0,1 und e^0=1 ergibt das

x=-(LambertW(n, -1/a))/a

Gute Rechner wie

http://www.lamprechts.de/gerd/php/RechnerMitUmkehrfunktion.php

und WolframAlpha kennen diese Funktion und auch komplexe Ergebnisse.

Beispiel a=-2

x1= -1.552488535946012301961466664-5.356741655650625329705263224 i

x2= -1.129579449266803093560525386-2.110480484633098348729786269 i

x3= 0.1758668556245979130124546506

x4= -1.129579449266803093560525386+2.110480484633098348729786269 i

Wenn Dich nur das reelle Ergebnis interessiert (also n=0) kann man auch den 1. Parameter weglassen

x=-(LambertW( -1/a))/a