Ableitung Oberflächenfunktion eines Zylinders nachvollziehen

Question

Habe folgende Ableitung vorliegen, die ich nicht nachvollziehen kann:

\( V(r, h)=\pi \cdot r^{2} \cdot \frac{\left(10000-\pi \cdot r^{2}\right)}{2 \pi r}=5000 r-\frac{\pi r^{3}}{2} \)

\( V^{\prime}(r)=5000-\frac{3 \pi r^{2}}{2} \)

Es handelt sich bei der Aufgabe um eine Rechnung die mit dem Volumen eines Zylinders zusammen hängt.

Hat vielleicht jemand eine Idee wie die Ableitung gebildet wurde? Da alle Teile durch eine Multiplikation getrennt sind, aber im letzten Teil ein Bruch steht bin ich mir nicht sicher was hier anzuwenden ist. Qutientenregel, Produktregel?

Answer 1

V = pi·r^2·h

mit 

O = pi·r^2 + 2·pi·r·h

h = (O - pi·r^2)/(2·pi·r)

also

V = pi·r^2·(O - pi·r^2)/(2·pi·r) = 1/2·O·r - 1/2·pi·r^3

V' = 1/2·O - 3/2·pi·r^2

Das ist also die Ableitung unter der Nebenbedingung das die Oberfläche (Boden + Mantel) 10000 FE beträgt.

Comments

Also nachvollziehen kann ich es leider immer noch nicht.

V = pi·r²·(O - pi·r²)/(2·pi·r) = 1/2·O·r - 1/2·pi·r³

Dieser Schritt bleibt mir weiterhin ein Rätsel. Kannst du vielleicht nochmal kurz drauf eingehen was da passiert. Ich verstehe z.B. nicht wo die 1/2 her kommen. Die Funktion hat ja lediglich zwei Potenzen 2ten Grades. Somit ist der einzige Koeffiient der da rauskommen kann 2?

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V = pi·r²·(O - pi·r²)/(2·pi·r)

pi und r kürzen

V = r·(O - pi·r²)/2

ausmultiplizieren

V = r·O/2 - pi·r^3/2

/2 steht für eine 2 unter dem bruchstrich. kannst du also auch als 1/2 als faktor schreiben.

V = 1/2·O·r - 1/2·pi·r³

Answer 2

kannst beides anwenden musst du aber nicht. Du hast da stehen

$$ V(r) = 5000\cdot r - \frac{\pi}{2} \cdot r^3 $$

und \( \frac{\pi}{2} \) ist ein konstanter Vorfaktor ;)

Gruß

Answer 3

weder Produkt- noch Quotientenregel.

Es wurde folgende Regel angewendet:

xⁿ = n*x^n-1

In der ersten Zeile wurde einfach nur zusammengefasst!

LG

Comments

Hallo Simon,

mathematisch nicht ganz haltbar

xⁿ = n*x^n-1

besser

( xⁿ ) ´ = n * x^n-1

mfg Georg

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Hallo Georg,

Danke für den Hinweis!

LG