Die linear unabhängigen Vektoren a,b,c spannen eine dreieckige Pyramide ABCD auf.
(Sonst macht es wenig Sinn!) Lege sie so in ein Koordinatensystem, dass D der Nullpunkt ist,
dann ist der Ortsvektor von SB ( a+b+c) /3
SB sei Schwerpunkt des Dreiecks ABC:
SA sei Schwerpunkt des Dreiecks BCD also Ortsvektor (b+c)/3
Aufgabe:
a)Weise nach; dass sich ASa und Dsb in einen Punkt S schneiden.
Gerade ASa x= a + t*Vektor ASa = a + t * ((b+c)/3 - a) = a + t * (-3a + b + c )/3
Dsb x = 0 + s* DSb = s * ( a+b+c) /3
beim Schnittpunkt müssen s und t so sein, dass
a + t * (-3a + b + c )/3 = s * ( a+b+c) /3 | *3
3a + t * (-3a + b + c ) = s * ( a+b+c)
3a -3t*a + t*b + t*c = s*a+s*b+s*c
(3-3t-s)*a + (t-s)*b + (t-s) * c = 0
Da die Vektoren a,b,c lin. unabh. sind, gilt
3-3t-s=0 und t-s= 0 und t-s=0 also s=t in 1. Gl. einsetzen
also 3 - 3t - t = 0 gibt t=3/4 und t=3/4
Der Schnittpunkt ist also a + t * (-3a + b + c )/3 mit t=3/4
also a + (3/4) * (-a + b/3 + c/3 )
= (1/4)a + b/4 + c/4
und bei der anderen Geraden s * ( a+b+c) /3 mit s=3/4 gibt das gleiche.
Da man vom Anfangspunkt aus 3/4 des Richtungsvektors nehmen muss,
ist natürlich das Verhältnis 3:1.
b) Weise nach, dass der Punkt S beide Strecken im Verhältniss 3:1 teilt.
