Vorbemerkung
2n+1 für n≥0 liefert positive ungerade Zahlen
-2n für n<0 liefert positive gerade Zahlen
Definitionen der Begriffe in den Unterlagen oder hier:
https://de.wikipedia.org/wiki/Bijektive_Funktion
Injektiv: Kein Wert der Bildmenge wird mehrfach angenommen.
Beweis indirekt:
Annahme: Sei a≠b und f(a) = f(b)
Dann folgt einer der folgenden Fälle:
1. 2a-1 = 2b-1
2. -2a = 2b-1
3. -2a = - 2b
4. 2a-1 = 2b
Aus 1. und aus 3. folgt zwingend a=b
aus 2. und aus 4. sind nicht lösbar, da eine gerade Zahl niemals eine ungerade sein kann.
Widerspruch zur Annahme, dass irgendein Wert mehrfach angenommen wird. qed injektiv.
Surjektiv: Es kommen alle Elemente von N = {1,2,3,4…} als Bildpunkte vor.
Beweis: Sei e Element N. Zu zeigen: Es gibt ein a Element Z mit f(a) = e.
Beweis: e Element N ist entweder gerade oder ungerade.
Fall e gerade. e = -2n.
Daher ist n=-0.5e eine negative ganze Zahl und das Urbild von e.
Fall e ungerade. e = 2n+1.
Deshalb ist n=(e-1)/2 eine positive ganze Zahl und das Urbild von e.
qed surjektiv.
Da f surjektiv und injektiv gezeigt, gilt auch f ist bijektiv qed.