Abbildung von N nach Z auf Surjektivität hin prüfen: f(x):= (x-1)/2 falls x-1 durch 2 teilbar und...

Question

die Abbildung f: ℕ ↦ ℤ, $$ f\left( x \right) =\left( { \frac { x-1 }{ 2 } \quad falls\quad x\quad -1\quad durch\quad 2\quad teilbar\quad ist }|{ -\frac { x }{ 2 } \quad falls\quad x\quad durch\quad 2\quad teilbar\quad ist\quad  } \right)  $$ soll unter anderem auf Surjektivität  geprüft werden, nun habe ich keine Ahnung wie man das mit

$$ \forall b\epsilon B:\exists a\epsilon A:f\left( a \right) =b $$ bewerkstelligen soll. Dass einzige was mir darüber klar ist, ist dass auf zwei Zustände hin geprüft werden muss.

Answer 1

Du kannst ja beide Gleichungen mal in der Form

y = (x-1) /2       und  y =  -x /2 hinschreiben und

nach x auflösen; dann hast du

x = 2y+1    und   x  = -2y   und dann siehst du:Mit der einen Formel bekommt zu einem pos. y den

x-Wert und mit der anderen für negatives.

Also:  Sei y aus Z. Dann wähle

x =  -2y     falls y negativ oder 0  bzw.

x = 2y+1  falls  y positiv.

So erhältst du immer ein x , dessen Bild das vorgegebene

y ist.   Also f surjektiv.