a) und b) sind recht leicht zu zeigen.
Zu zeigen ist nämlich: (kv + lw) x u = n(v x u) + m(w x u) mit k, l ∈ ℝ und v, w, u ∈ V.
Dafür zerlegt man v, w und u in die Darstellung mit imaginären Einheiten:
v = ai + bj + ck
w = di + ej + fk
⇒ nv + mw = (na + md)i + (nb + me)j + (nc + mf)k
u = hi + oj + pk
und setzt nun in die Definition ein:
(kv + lw) x u = ((nb+me)p - (nc+mf)o) i + ((nc + mf)h - (na + md) p) j + ((na + md)o - (nb + me)h)k
= n(bp-co)i + m(ep - fo)i + n(ch - ap)j + m(fh - dp)j + n(ao - bh)k + m (do - eh) k
= n((bp-co)i + (ch- ap)j + (ao - bh)k) + m((ep - fo)i + (fh - dp)j + (do - eh)k)
= n(ai + bj + ck) x (hi + oj + pk) + m(di + ej + fk) x (hi + oj + pk)
= n (v x u) + m (w x u)
Und nun noch die analoge Rechnung für das zweite Element.
b) folgt direkt eigentlich ohne Nachrechnen aus der Definition:
Sei
v = ai + bj + ck
w = di + ej + fk
Dann gilt:
v x w = (bf - ec)i + (cd - af)k + (ae - bd)k
= -((ec - bf) i + (af - cd)k + (bd - ae)k
= -((di + ej + fk) x (ai + bj + ck))
= - (w x v)
Bei den anderen Aufgaben tue ich mich etwas schwer, weil ich sowas noch nie gemacht habe, so einen Eindeutigkeitsbeweis.
