Allgemeiner Beweis der linearen Unabhängigkeit

Question

Die Aufgabe ist folgende:

Sei F: V -> W eine lineare Abbildung zwischen K-Vektorräumen V und W. Es gelte Kern F = {0}. Zeigen Sie:

Ist

$$(v_1,...,v_n)$$ eine Basis von V, dann ist $$(F(v_1),...,F(v_n))$$ eine Basis von Bild F.

Nun meine Frage: Um zu zeigen, dass etwas eine Basis ist, muss man ja zeigen, dass es ein Erzeugendensystem ist und dass es linear unabhängig ist. Ergibt sich die lineare Unabhängigkeit daraus, dass $$(v_1,...,v_n) $$ schon eine Basis (also linear unabhängig) ist, oder muss man diese noch beweisen? Und wenn ja, wie? Man hat ja keine konkreten Vektoren gegeben, mit denen man dies durchrechnen könnte. Ich tu mich bei allgemeinen Beweisen immer etwas schwer :(

Answer 1

Hi,

du musst mit der Definition der linearen Unabhängigkeit arbeiten und zeigen:

1. \( F(v_1),...,F(v_n) \) sind linear unabhängig in \(W\)

Dafür musst du die Linearität der Abbildung benutzen!

2. Das diese Vektoren dann eine Basis von \(Bild(F)\) bilden kannst du mit der Dimensionsformel zeigen.

Gruß

Comments

Vielen Dank schon einmal für Deine Mühe. Leider verstehe ich nicht, wie man die Linearität der Abbildung ausnutzen kann, um dies zu zeigen. 

Dass \(F(v_1),...,F(v_n)\) ein Erzeugendensystem von Bild F ist, haben wir folgendermaßen bewiesen:

Jedes v ∈ V ist von der Form \(v=\sum _{ i=1 }^{ n }{ { \lambda  }_{ i }{ v }_{ i } } \). Also ist \(F(v)=F\left( \sum _{ i=1 }^{ n }{ { \lambda  }_{ i }{ v }_{ i } }  \right) =\sum _{ i=1 }^{ n }{ { \lambda  }_{ i } } F({ v }_{ i })\) Linearkombination von \(F(v_1),...,F(v_n)\).

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:D was meinst du wurde wohl bei eurem Teilbeweis benutzt? Schau dir nochmal jeden Schritt in der Gleichung an ;)

Jetzt wo du weißt das es ein Erzeugendensystem ist musst du nur noch zeigen, dass die Dimension des Bildes n beträgt, und das machst du mit der Dimensionsformel.

Alternativ kannst du auch die lineare Unabhängigkeit der Elemente des Erzeugendensystems zeigen (ist ein wenig länger, aber nur ein wenig). Zum Beispiel per Widerspruch. Und hierfür brauchst du die Linearität und die Information über den Kern der Abbildung.

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Oh wie blöd :D Jetzt weiß ich, was damit gemeint war, danke :D