Zeige: Die komplexe Zahlen mit Betrag <=1 bilden bezüglich der üblichen Addition und Multiplikation keinen Körper.

Question

Die komplexe zahlen mit Betrag <=1 bilden bezüglich der üblichen Addition und Multiplikation keinen Körper . Warum?

 

 

Dies zu zeigen fiel mir schwer:...also die Definition lautet ja so::

|z|=sqrt(x^2 + y^2)..............................folglich.|z|+|z|

und davon die Addition führt zu keiner Idee

 

wie soll man hier zeigen dass es kein Körper ist

Answer 1

Dieser vermeintliche Körper ist bezüglich Addition nicht abgeschlossen.

Sei M die Menge der Zahlen mit |z| ≤ 1.

So ist z.B. a= 1 in M und b= i in M . Weil der Körper bezüglich Addition abgeschlossen ist, muss auch a+b noch in M liegen. Aber a+b = 1 + i.

|a+b| = √2 > 1. D.h. a+b nicht in M. Damit kein Körper.

Comments

wo verletzt es die eigenschaft des Körpers?

und warum fällt der imaginäre teil von |a+b|

also in |a+b| = √2 > 1 weg?

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1. Zur Gruppe habe ich oben alles Nötige notiert.

Die 1. Eigenschaft von Gruppen ist nicht erfüllt bei +

https://de.wikipedia.org/wiki/Gruppentheorie

2. Betrag einer komplexen Zahl

vgl: https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl

|z| = √(a^2 + b^2) = √(1 + 1) = √2

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Ein Körper ist also auch eine Grupee mit besonderer Eigenschaft,ja?

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Studiere mal die allgemeine Definition für Körper.

https://de.wikipedia.org/wiki/Körper_(Algebra)

Bezüglich Addition muss z.B. eine kommutative Gruppe vorliegen.