Die Abbildung $$\mathbb{R}^{2\times 2}\to \mathbb{R}^2,\; \left(\begin{array}{cc}x&y\\u&v\end{array}\right)\mapsto \left(\begin{array}{c}x-v\\y+u\end{array}\right)$$ ist linear und ihr Kern ist \(A\).
Daher ist \(A\) ein Untervektorraum der Algebra \(\mathbb{R}^{2\times 2}\).
Sei \(M(x,y)=\left(\begin{array}{cc}x&y\\-y&x\end{array}\right)\).
Dann gilt
\(M(u,v)\cdot M(x,y)=M(ux-vy,vx+uy)=\)
\(=M(xu-yv,xv+uy)=M(x,y)\cdot M(u,v)\).
\(A\) ist also multiplikativ abgeschlossen und die Multiplikation ist kommutativ.
Ferner ist \(M(x,y)\) genau dann invertierbar, wenn
\(\det(M(x,y))=x^2+y^2\neq 0\), d.h. \(M(x,y)\neq 0\).
Alle Assoziativgesetze, Distributivgesetze werden vererbt.