Beweis Körper (neutrales Element, Addition/Multiplikation)

Question

nach den Hilfen von der netten Community hier (bei meinen letzten Aufgaben) bin ich sehr gut voran gekommen. Nun stehe ich aber leider wieder auf dem Schlauch und weiß nicht wirklich etwas mit dieser Aufgabe anzufangen. Eventuell kann mir ja jemand weiterhelfen :)

So lautet meine Aufgabe:

Sei (K;+; *) ein Körper. Bezeichne mit 0 das neutrale Element der Addition

und mit 1 das neutrale Element der Multiplikation.

a) Beweisen Sie: Für alle x ∈ K gilt (-1) * x = -x, wobei -x das Inverse bezüglich der Addition

bezeichnet.

b) Für alle x,y ∈ K gilt (-x) * (-y) = x * y, also insbesondere (-1) * (-1) = 1.

Answer 1

zu a) Das Inverse bzgl der Addition ist ja für jedes x ein y, für welches gilt

x+y = y+x = 0.        #

Wenn da nun behauptet wird, dieses Inverse sei (-1) * x dann musst du nur bei #

an Stelle von y das (-1) * x  einsetzen und unter Verwendung der der Körperaxiome

die Richtigkeit der Gleichung zweigen, etwa so

x + (-1)*x

=  1*x  +(-1) * x     ( denn 1*x = x wegen Def. des neutralen El. bzgl Multiplik.)

= ( 1 + (-1) ) * x     (Distributivgesetz)

=      0 * x          ( Denn 1+(-1) = 0 wegen Def. des additiven Inversen von 1 )

=      0         ( entsprechendes Körperaxiom ) .

b) mit Hilfe von a) auf  (-1) * (-1) = 1. zurückführen.