Zeigen Sie, dass A mit der üblichen Addition und Multiplikation von Matrizen einen Körper bildet.

Question

Aufgabe:

Sei A ⊂ ℝ^2x2 die Teilmenge, welche aus Matrizen der For
\( \begin{pmatrix} x & y \\ -y & x \end{pmatrix} \)
besteht, wobei x, y ∈ ℝ. Zeigen Sie, dass A mit der üblichen Addition und Multiplikation von
Matrizen einen Körper bildet.

Problem/Ansatz:

brauche Hilfe hab garkeine Ahnung ):

Answer 1

Die Übersicht der nachzuweisenden Körpereigenschaften findest du in deiner Mitschrift oder hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Körper_(Algebra)#Einzelaufzählung_der_benötigten_Axiome

Nutze für die 3 aufgeführten Elemente a, b und c die Matrizen

a=\( \begin{pmatrix} x & y \\ -y & x \end{pmatrix} \) , b=\( \begin{pmatrix} r & s\\ -s & r\end{pmatrix} \)  und c=\( \begin{pmatrix}u & v\\ -v & u\end{pmatrix} \) (und bilde mit denen die in den Körpereigenschaften angegebenen Summen und Produkte).

Dabei müssen wieder Matrizen der vorgegebenen Grundform entstehen.

Answer 2

1. Addition

   • Zeige dass \(\begin{pmatrix}0 & 0\\0 & 0\end{pmatrix}\in A\) ist.
   • Zeige dass \(\begin{pmatrix}x & y\\-y & x\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}x'& y'\\-y' & x'\end{pmatrix}\in A\) ist wenn \(\begin{pmatrix}x & y\\-y & x\end{pmatrix}\in A\) und \(\begin{pmatrix}x' & y'\\-y' & x'\end{pmatrix}\in A\) ist.
   • Zeige dass \(\begin{pmatrix}-x & -y\\y & -x\end{pmatrix}\in A\) ist, wenn \(\begin{pmatrix}x & y\\-y & x\end{pmatrix}\in A\) ist und dass deren Summe \(\begin{pmatrix}0 & 0\\0 & 0\end{pmatrix}\) ist.
     

2. Multiplikation

   • Zeige dass \(\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}\in A\) ist.
   • Zeige dass \(\begin{pmatrix}x & y\\-y & x\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x' & y'\\-y' & x'\end{pmatrix}\in A\) ist wenn \(\begin{pmatrix}x & y\\-y & x\end{pmatrix}\in A\) und \(\begin{pmatrix}x' & y'\\-y' & x'\end{pmatrix}\in A\) ist.
   • Zeige dass \(\begin{pmatrix}\frac{x}{x^{2}+y^{2}} & -\frac{y}{x^{2}+y^{2}}\\\frac{y}{x^{2}+y^{2}} & \frac{x}{x^{2}+y^{2}}\end{pmatrix} \in A\) ist wenn \(\begin{pmatrix}x & y\\-y & x\end{pmatrix}\in A\setminus\left\{ \begin{pmatrix}0 & 0\\0 & 0\end{pmatrix}\right\} \) ist und dass deren Produkt \(\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}\in A\) ist.

3. Begründe warum die hier nicht aufgeführten Körperaxiome in \(A\) gelten.
   
   

Answer 3

Der schnelle Weg:

Wir wissen, dass \(\mathbb C\) ein Körper ist. Nun betrachte

$$\Phi:\: \mathbb C \rightarrow \mathbb R^{2\times 2} \text{ mit } \Phi(x+iy) = \begin{pmatrix} x & y \\ -y & x \end{pmatrix}$$

Zeige nun, dass \(\Phi\) ein Körperhomomorphismus ist - das sind die drei schnell zu zeigenden Eigenschaften im verlinkten Dokument. Außerdem ist schnell zu sehen, dass \(\Phi\) injektiv ist.

Damit ist \(\mathbb C\) isomorph zu \(A = \operatorname{im}\Phi\). Also ist \(A\) ein Körper.

Answer 4

Die Abbildung $$\mathbb{R}^{2\times 2}\to \mathbb{R}^2,\; \left(\begin{array}{cc}x&y\\u&v\end{array}\right)\mapsto \left(\begin{array}{c}x-v\\y+u\end{array}\right)$$ ist linear und ihr Kern ist \(A\).

Daher ist \(A\) ein Untervektorraum der Algebra \(\mathbb{R}^{2\times 2}\).

Sei \(M(x,y)=\left(\begin{array}{cc}x&y\\-y&x\end{array}\right)\).

Dann gilt

\(M(u,v)\cdot M(x,y)=M(ux-vy,vx+uy)=\)

\(=M(xu-yv,xv+uy)=M(x,y)\cdot M(u,v)\).

\(A\) ist also multiplikativ abgeschlossen und die Multiplikation ist kommutativ.

Ferner ist \(M(x,y)\) genau dann invertierbar, wenn

\(\det(M(x,y))=x^2+y^2\neq 0\), d.h. \(M(x,y)\neq 0\).

Alle Assoziativgesetze, Distributivgesetze werden vererbt.