(µ,σ) - normalverteilte Zufallsgröße. Erwartungswert µ und Standardabweichung σ bestimmen

Question

Es sei µ ∈ R und σ ∈ R>0. Ferner sei X eine (auf einem Wahrscheinlichkeitsraum mit Wahrscheinlichkeitsmaß P definiert) (µ,σ)- normalverteilt Zufallsgröße.     Es gelte

P(X<0,970)=0,015 und P(x>1,230)=0,063

Man bestimme den Erwartungswert µ und die Standardabweichung σ.


Wir hatten bisher µ und σ oder zumindest µ gegeben.

Meine Ansätze:

P(1,230 < X <0,970) =0,078

0,015 < φ( (0,970-µ)/ σ) - 0,063 > φ( (1,230 -µ) / σ)

Da die Phi-Tabelle nicht so weit geht habe ich den Gegenwert genommen:

0,078 = 0,985 > φ ( (0,970-µ) / σ) - 0,937 < φ ( (1,230 - µ) / σ)
Dann in der Tabelle nachgeschaut:

2,107 > ( - (0,970 -µ) / σ) - 1,503 < (- (1,230-µ) / σ)

Für den Fall, dass ich bis jetzt richtig liege, wie geht es weiter?

Answer 1

NORMAL(z) = 0.015 --> z = -2.170

μ - 2.170·σ = 0.970

NORMAL(z) = 1 - 0.063 --> z = z = 1.530

μ + 1.530·σ = 1.230

Du bekommst ein Lineares Gleichungssystem. Bitte selber versuchen zu lösen

μ - 2.170·σ = 0.970

μ + 1.530·σ = 1.230

Ich erhalte die Lösung: μ = 1.122 ∧ σ = 0.070

Comments

Aber irgendwie bin ich jetzt noch verwirrter!

Also ich hatte ja vorher < und > . Aber das brauche ich ja eigentlich nicht oder?

Also 0,015 = φ( (k-µ) / σ)     und    0,063 = φ ( (k - µ) / σ)

Berechne ich denn beide unabhängig voneinander?

und wieso sind es -2,170 ?

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Lies das z aus der Standardnormalverteilung ab für das gilt:

NORMAL(z) = 0.015

Φ(z) = 0.015

Ps die Linke Seite liest du ab über

Φ(-z) = 1 - 0.015 = 0.985

https://de.wikipedia.org/wiki/Tabelle_Standardnormalverteilung

Was kannst du ablesen?

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Also irgendwie verstehe ich jetzt nur Bahnhof.

So ich versuch es jetzt mal von ganz vorne

Also ich habe ja P(X<0,970)=0,015 und P(X>1,230)=0,063

So nun schreibe ich

0,015 = φ ( (0,970 - µ) / σ)                         0,063 = φ ( (1,230 - µ) / σ)

da ich ja 0,015 nicht in der Tabelle finde  rechne ich

1-0,015 = 0,985 ich suche also nach 0,985 in der Tabelle und finde 2,107 dafür muss ich aber die Klammer minus setzen  ?

2,107 = - ( (0,970 - µ) / σ)                     1,504 = - ( (1,230 - µ) / σ)

ist es bis hierin richtig? Oder habe ich schon direkt Fehler gemacht?

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Also ich habe jetzt nochmal in Ruhe gerechnet und für

µ = 1,876986755 und für σ = 0,4304635762 raus.

Wenn ich die Werte einsetze komme ich auf das gleiche Ergebnis!

....

-> φ ( - 1,503) - φ (-2,107)

( 1 - φ(1,503) - ( 1 - φ(2,107)

(1- 0,9370) - (1 - 0,9850)

0,063 - 0,015

0,048

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0,015 = Φ((0.970 - µ)/σ) --> Der Ansatz ist richtig

0.063 = Φ((1.230 - µ)/σ) --> Achtung: Großphi ist die Wahrscheinlichkeit für X <= k, daher musst du hier 1 - 0.063 nehmen

1 - 0.063 = Φ((1.230 - µ)/σ)

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2.107 = - ( (0,970 - µ) / σ)
-2.107 = (0,970 - µ) / σ
-2.107σ = 0,970 - µ
µ - 2.107σ = 0,970

Du solltest die Gleichung erkennen, die ich oben schon in meiner Lösung hatte. Das jetzt also noch für die rechte Grenze machen und dann richtig rechnen. Dann solltest du meine Lösung bekommen.

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So nun habe ich es hoffentlich geschnallt! :-P

Ich wusste nicht, dass wenn X > ... ist, dass man dann 1- rechnen... Also schonmal danke für den Tipp!
Hier nun meine Rechnung, bitte drüber schauen und überprüfen:

P(X<0,970) = 0,015

0,015 = Φ ( (0,970 - µ) / σ)   So in der Tabelle nicht zu finden, also Gegenwert und Klammer minus setzen
0,985 = Φ - ( (0,970 - µ) / σ)  
2,107 = - ( (0970 - µ) / σ)        /*σ
2,107σ = -0,970 + µ

µ = 0,970 + 2,107σ


P(X>1,230)=0,063

1 - 0,063 = Φ( (1,230 -µ) /σ)
0,937 = Φ ( (1,230-µ) /σ)
1,503 = ( (1,230 - µ) /σ)

µ = 1,230 - 1,503σ


0,970 + 2,107σ = 1,230 - 1,503σ      /+1,503σ   /-0,970
3,61σ = 0,26                                        / :3,61

σ = 0,07202216


1,503 = ( (1,230 - µ) /0,072)        /*0,072   /-1,230
-1,121750694 = -µ                      / * (-1)

1,121750694 = µ

Dann überprüfen :

= Φ ( (0,970 - 1,1217) /0,0720)
= Φ (-2,107)
= 1-Φ (2,107)
= 1-0,9850
= 0,015


= Φ ( (1,230 - 1,1217) /0,0720)
= 1-Φ (1,503)
= 1- 0,9370
= 0,063

:-) Ich hoffe das stimmt jetzt so!
Vielen Dank für die Hilfe