Wann ist eine Funktion weder konkav noch konvex?

Question

warum ist die funktion ln (x^2+1) weder konkav noch konvex auf ganz R   dritte ableitung ist (2-2x^2) / (1+x^2)^2    ??

Ich komme nicht weiter, 2. Ableitung muss ja untersucht werden ob sie kleiner oder grösser 0 ist...

Answer 1

und die zweite Abl. ist < 0 für
2-2x^2 < 0
2* ( 1-x^2 ) < 0
2* (1-x) * ( 1+x ) < 0
und das stimmt z.B. für x=2 aber nicht für x=0
also nicht auf ganz IR.

Answer 2

f ( x ) = ln ( x^2 + 1 )
f ´( x ) = 2x / ( x^2 + 1 )
f ´´( x ) = 2 * [ ( x^2 + 1 - x * 2 * x ) ] / ( x^2 + 1 ) ^2
f ´´( x ) = 2 * ( 1 - x^2   )  / ( x^2 + 1 ) ^2
Wendepunkt
( Zähler = 0 )
1 - x^2 = 0
x = + 1
x = -1
Linkskrümmung
1 - x^2 > 0
x^2 < 1
-1 < x < 1

Rechtskrümmung
x < - 1
x > 1

Die Funktion ist konkav und konvex mit 2 Wendepunkten.