Ganzrationale Funktion 3. Grades verläuft durch Koordinatenursprung. Anstieg der Tangenten ist dort 9. X-Achse bei x=6.

Question

Rekonstruktion

Eine ganzrationale Funktion 3. Grades verläuft durch den Koordinatenursprung. Der Anstieg der Tangenten ist dort 9. Weiterhin berührt sie die X-Achse bei x=6. Um welche Funktion handelt es sich?

Lösung: f(x)=1/4x³- 3x²+9x    

 Ich bitte um den kompetten Rechenweg. Ich kriege es einfach nicht gebacken :(

LG =)

Answer 1

Eine ganzrationale Funktion 3. Grades 

f(x) = a·x^3 + b·x^2 + c·x + d

verläuft durch den Koordinatenursprung. 

f(0) = 0

Der Anstieg der Tangenten ist dort 9. 

f'(0) = 9

Weiterhin berührt sie die X-Achse bei x=6. 

f(6) = 0
f'(6) = 0

Um welche Funktion handelt es sich?

Die Bedingungen habe ich wie sie ermittelt werden direkt dazu geschrieben. Nun stellt man die Gleichungen auf und löst das Gleichungssystem. Dabei hilft: http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm

d = 0
c = 9
216a + 36b + 6c + d = 0
108a + 12b + c = 0

f(x) = 0,25·x^3 - 3·x^2 + 9·x

Lösungen sind nur zur Kontrolle. Die Lösungen sind selber zu erarbeiten.

Answer 2

Meine Funktion 

g(x) = x(x-6)^2

geht durch den Ursprung und berührt die x-Achse bei x=6.

Nun darf ich sie eigentlich nur noch in y-Richtung strecken.

Also ist

f(x) = ax(x-6)^2 , wobei das a noch fehlt.

Überleg dir schon mal, wie ich das a bekommen kann.

Die Steigung im Ursprung wurde noch nicht benutzt. Daher f vereinfachen, ableiten, a bestimmen...

f(x) = ax(x-6)^2

= ax(x^2 - 12x + 36)

= ax^3 - 12ax^2 + 36ax

f ' (x) = 3ax^2 - 24ax + 36a

f '(0) = 36a = 9

-> a = 1/4

Einsetzen in f(x) = ax^3 - 12ax^2 + 36ax

f(x) = 1/4 x^3 - 3x^2 + 9x

Comments

Ich hab folgendes getan: Ich habe die 6 für x eingesetzt.
f(6)= 216a+36b+6c=0  <--- das ist meine 1. funktion wenn ich mich nicht irre.

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achja und y ist doch 0, also (6Ι0)

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Das stimmt als erste Gleichung, wenn du gar keine Theorie kennst. Das macht die Rechnerei aber zu komplizert.

 

Wenn du die Theorie zu den Nullstellen kennst, hast du nach dem ersten Ansatz mit g(x) und dann f(x) nur die Unbekannte a. 

Answer 3

Eine ganzrationale Funktion 3. Grades verläuft durch den Koordinatenursprung.
Der Anstieg der Tangenten ist dort 9. Weiterhin berührt sie die
X-Achse bei x=6. Um welche Funktion handelt es sich?

f ( x ) = a* x^3 + b * x^2 + c * x + d
f ( 0  | 0 ) => d = 0
f ( x ) = a* x^3 + b * x^2 + c * x
f ´ ( 0 ) = 9

Berührpunkt
f ( 6 ) = 0
f ´ ( 6 ) = 0  

3 Gleichungen mit 3 Unbekannten.

mfg Georg