Aussagen wahr oder falsch: Es existiert eine orthogonale 2 × 2 Matrix A mit det A = -1.

Question

Aufgabe:

Entscheide, ob folgende Aussagen wahr oder falsch sind und begründe.

a) Es existiert eine orthogonale 2 × 2 Matrix A mit det A = -1.
b) Seien v⁽¹⁾, v⁽²⁾, v⁽³⁾, v⁽⁴⁾ Vektoren im ℝ⁴, so dass ⟨v⁽ⁱ⁾, v^(j)⟩ = δ_ij für 1 ≤ i, j ≤ 4 wobei ⟨•,•⟩ das Euklidische Skalarprodukt bezeichnet. Dann ist v⁽¹⁾, v⁽²⁾, v⁽³⁾, v⁽⁴⁾ eine Basis des ℝ⁴.

Ansatz/Problem:

Bei a) habe ich ausprobiert, dass

^{\( \operatorname{det}\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & -1\end{array}\right)=-1 \)
\( \left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & -1\end{array}\right)^{T}=\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & -1\end{array}\right) \)
\( \left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right) \)}

Sstimmt dieses Beispiel und wenn ja, kann ich das als Begründung nehmen oder gibt es einen algebraischen Beweis dazu?

Bei b) sehe ich die Begründung nicht.

Answer 1

oder gibt es einen algebraischen Beweis dazu?
Kein Beweis nötig; dass dieses ein korrektes Beispiel ist, hast du gezeigt.

Es ist dim R^4 = 4 und es sind 4 Vektoren. 
Wenn sie lin. unabh. sind, bilden sie eine Basis.

lin. unabh. kann man so sehen:

sei a1v1 + a2v2 + a3v3 + a4v4 = 0
eine Lin.komb. des Nullvektros.
Dann ist zu zeigen:  alle ai müssen = 0 sein.

Betrachte dazu
<   a1v1 + a2v2 + a3v3 + a4v4   ,  a1 >  Das ist = 0 ,
weil Skalarprod. mit dem Nullvektor immer 0 ist
weg der Axiome für das Skalarprod. ist das aber
a1*<  v1,v1> + a2*<v2,v1> + a3<v3,v1> + a4<v4 a1 >  = 0
Da die Skalarprodukte alle 0 und das erste 1 ist, gilt
a1 * 1 = 0    also a1=0

wenn man statt a1 das Skalarprod. mit a2 nimmt, sieht man  a2=0 etc.
Also sind alle ai = 0 und damit die 4 Vektoren lin. unabh.

Comments

Ich habe alles verstanden, ausser wie man von  

<   a1v1 + a2v2 + a3v3 + a4v4   , a1 >

auf

a1*<  v1,v1> + a2*<v2,v1> + a3<v3,v1> + a4<v4, a1 >

kommt.

Ich habe im Internet nachgeschaut, und denke diese beiden Theoreme werden wohl die sein, die du genutzt hast,

\( \langle\lambda x, y\rangle=\left(\lambda x_{1}\right) y_{1}+\cdots+\left(\lambda x_{n}\right) y_{n}=\lambda\left(x_{1} y_{1}+\cdots+x_{n} y_{n}\right)=\lambda\langle x, y\rangle \) und
\( \langle x+y, z\rangle=\left(x_{1}+y_{1}\right) z_{1}+\cdots+\left(x_{n}+y_{n}\right) z_{n}=\left(x_{1} z_{1}+\cdots+x_{n} z_{n}\right)+\left(y_{1} z_{1}+\cdots+y_{n} z_{n}\right)=\langle x, z\rangle+\langle y, z\rangle \)

jedoch komme ich, wenn ich es versuche auf a1*<  v1,a1> + a2*<v2,a1> + a3<v3,a1> + a4<v4, a1 >, d.h. ich habe in den ersten 3 skalarprodukten a1 anstelle von v1 wie du. Kannt du das eventuell zeigen?

---

Ich hatte mich vertippt, es muss natürlich

<   a1v1 + a2v2 + a3v3 + a4v4   ,  v1 >

heißen, denn das a1 ist ja eine Zahl und mit der kann man

gar kein Skalarprodukt bilden.

Dann entsteht aber wirklich mit den einschlägigen Gesetzen

a1*<  v1,v1> + a2*<v2,v1> + a3<v3,v1> + a4<v4, a1 >

Ich glaube das nennt sich Linearität des Skalarproduktes.

---

In diesem Fall müsste doch der letzte Term a4<v4, v1 >  sein, nicht?

und woher weiss ich, dass z.b. der Zweite Term a2*<v2,v1> = 0 ist?

---

In diesem Fall müsste doch der letzte Term a4<v4, v1 >  sein, nicht?

Genau, da war schon wieder ein Tippfehler.

und woher weiss ich, dass z.b. der Zweite Term a2*<v2,v1> = 0 ist?

weil es in der Aufgabe hieß   ⟨v⁽ⁱ⁾, v^(j)⟩ = δ_ij denn das bedeutet

ja 1 für i = j und 0 sonst, also in Worten:

zwei verschiedene Vektoren von den vi haben das Skalarprodukt 0

und zwei gleiche das Skalarprodukt 1.

---

Super, wenigstens weiss ich jetzt, dass ich die axiome richtig anwenden kann, danke :)