Welche Aussagen sind wahr oder falsch? Begründen Sie jeweils, geben Sie dabei jeden Argumentationsschritt an

Question

Text erkannt:

Betrachtet werden die Vektoren \( \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \mathbf{v}_{3}, \mathbf{v}_{4}, \mathbf{v}_{5} \in \mathbb{R}^{7} \).
Welche der nachfolgenden Aussagen sind wahr und welche falsch? Begründen Sie jeweils Ihre Antwort genau; geben Sie dabei jeden Argumentationsschritt an.
a) Die Menge \( \left\{\mathbf{v}_{1}, \ldots, \mathbf{v}_{5}\right\} \) ist ein Erzeugendensystem eines Vektorraums \( V \) mit \( \operatorname{dim} V=5 \).
b) Eine Teilmenge von \( \left\{\mathbf{v}_{1}, \ldots, \mathbf{v}_{5}\right\} \) kann eine Basis des \( \mathbb{R}^{3} \) sein.
Hinweis: Da der \( \mathbb{R}^{3} \) ein Untervektorraum des \( \mathbb{R}^{7} \) ist, ist diese Frage sinnvoll, auch wenn die Vektoren sieben Komponenten besitzen.
c) Da nur fünf Vektoren gegeben sind, lässt sich kein Vektor \( \mathbf{v} \in \mathbb{R}^{7} \) als Linearkombination dieser fünf Vektoren darstellen.

Comments

Inwiefern ist denn der \(\R^3\) ein Untervektorraum des \(\R^7\) ?

Answer 1

Hallo

zu a) überlege, dass nichts über die lineare abhängigkeit oder Unabhängigkeit gesagt ist.

zu b) achte auf das Wort "kann" statt ist

c) solltest du leicht wissen.

besser du sagst uns was du denkst und warum, dann können wir verbessern.

Gruß lul

Answer 2

a) Falsch. Wähle geeignete Vektoren \( \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \mathbf{v}_{3}, \mathbf{v}_{4}, \mathbf{v}_{5} \in \mathbb{R}^{7} \).

b) Wahr. Wähle geeignete Vektoren \( \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \mathbf{v}_{3}, \mathbf{v}_{4}, \mathbf{v}_{5} \in \mathbb{R}^{7} \).

c) Falsch. Schau noch mal nach, was Linearkombination bedeutet.

Answer 3

a) stimmt so nicht, nur wenn die 5 linear unabhängig sind.

b) wahr. ℝ³ hat Dimension 3, jede Basis dafür hat genau 3 Elemente,

wenn es bei den 5en drei lin. unabhängige gibt, kann das sein.

c) falsch, z.B. die Summe der 5 , das ist ja auch ein Element von ℝ⁷ .

Answer 4

Die Elemente von R³ sind Tripel, die von R⁷ 7-tupel, also ist R³ kein Unterraum vom R⁷.

Comments

Gemäß dem Hinweis vom Dozenten in der Aufgabe sieht er das ein wenig anders.

Hinweis: Da der \( \mathbb{R}^{3} \) ein Untervektorraum des \( \mathbb{R}^{7} \) ist, ist diese Frage sinnvoll, auch wenn die Vektoren sieben Komponenten besitzen.

---

R³ ist keine Teilmenge von R⁷, oder gibt Gleichungen der Form

(a,b,c) = (d,e,f,g,h,i,j) ?

Unser Professor hat uns als Studienanfängern gesagt: "Es gibt zwei Begriffe, deren Verständnis schwierig sind, das sind die lineare Unabhängigkeit und die gleichmäßige Konvergenz." Das merkt man noch heute an den Fragen. Dass es aber beim Verständnis von Defininitionen Probleme gibt, scheint neu zu sein.

---

Erhabene Geister schweben über der Isomorphie :-)

---

Isomorph ist vieles, aber klar ist, dass R³ kein UR des R⁷ ist, und das ist auch keine Ansichtssache. Gemeint ist(?), "... kann einen 3dim UR des R⁷ aufspannen", aber warum sagt man das nicht so und erspart sich damit den Hinweis?

---

An mathhilf: Was soll das?

An Rudgers ?: Dafür, dass eine Menge M einen UR eines VR V aufspannt, muss doch M in V enthalten sein.

Alle 3-dim VR sind isomorph zu R³ , aber das hilft nicht.