Zeigen Sie, dass das Verhältnis der Flächenstücke von a unabhängig ist.

Question

Gegeben sind die Funktionsscharen f_a(x) = -(1/18)*x^3 + (1/2)*a*x^2

                                                                  g_a(x) = (a/6)*x^2

a∈ R, a>0

Die Graphen der Kurvenscharen werden mit F_a bzw. G_a bezeichnet.

  Der Graph von  F₁ schließt im  ersten Quadranten mit der x – Achse eine Fläche ein. Der Graph von  G₁ zerlegt diese Fläche  in zwei Teilflächen. Zeigen Sie, dass das Verhältnis der Teilflächen von a unabhängig ist.  

Answer 1

Hi,

du sollst  nachrechnen, dass für \( h_a(x) = f_a(x)-g_a(x) \) und

$$ A_1 = \left \vert \int \limits_0^{6a}h_a(x)dx \right \vert  \\ A_2 = \left \vert \int \limits_{6a}^{9a}f_a(x)dx \right \vert + \left \vert \int \limits_0^{6a}g_a(x)dx \right \vert $$

gilt, dass $$ \frac{A_1}{A_2} $$

unabhängig von \(a\) ist.

Gruß

Comments

wie kommst du darauf?

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Worauf genau?

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egal hat sich jetzt erledigt

Answer 2

Gegeben sind die Funktionsscharen
f_a(x) = -(1/18)*x³ + (1/2)*a*x²

g_a(x) = (a/6)*x^2

a∈ R, a>0

Die Graphen der Kurvenscharen werden mit F_a bzw. G_a bezeichnet.

Der Graph von  F₁ schließt im  ersten Quadranten mit der x – Achse
eine Fläche ein. Der Graph von  G₁ zerlegt diese Fläche  in zwei Teilflächen.
Zeigen Sie, dass das Verhältnis der Teilflächen von a unabhängig ist. 



Nullstellen f
f ( x ) = -1/18 * x^3  + 1/2 * a * x2
f ( x ) = x^2 * ( -1/18 * x  + 1/2 * a )
x^2 * ( -1/18 * x  + 1/2 * a ) = 0
x^2 = 0  => x = 0
und
-1/18 * x  + 1/2 * a  = 0
1 /18 x = 1/2 * a
x = 9 a

Schnittstelle f und g
f ( x ) = g ( x )
-1/18 * x^3  + 1/2 * a * x2 = (a/6)*x^2
x^2 * ( -1/18 * x  + 1/2 * a ) = (a/6)*x^2
x = 0
-1/18 * x  + 1/2 * a  = a / 6
-1 /1 8 * x = a / 6 - 1/2 * a
1 / 18 * x = 1 / 3 * a
x = 6 * a

Flächen
F1 : ∫ g ( x ) zwischen 0 und 6 * a
F2 : ∫ f ( x ) zwischen 0 und 6 * a
F3 : ∫ f ( x ) zwischen 6 * a  und 9 * a

F2 -  F1
zu
F1 + F3

Bin gern weiter behilflich.








mfg