Die Menge ℕ ist unendlich. Beweis zur Menge der Natürlichen Zahlen.

Question

Ich bin im Analysis.Buch auf einen Beweis gestoßen, dem ich nur schwer folgen kann:

6.1 Beispiele

(a) Die Menge \( \mathbb{N} \) ist unendlich.

Beweis:
Wir nehmen an, \( \mathbb{N} \) sei endlich. Dann gibt es ein \( m \in \mathbb{N}^{\times} \)und eine Bijektion \( \varphi \) von \( \mathbb{N} \) auf \( \{1, \ldots, m\} . \) Somit ist \( \color{#00F}{ \psi:=\varphi \mid\{1, \ldots, m } \} \) eine Injektion von \( \{1, \ldots, m\} \) in sich. Also ist \( \psi \) gemäB Aufgabe 1 eine Bijektion von \( \{1, \ldots, m\} \) auf sich. Folglich gibt es ein \( n \in\{1, \ldots, m\} \) mit \( \varphi(n)=\psi(n)=\varphi(m+1) \), was der Injektivität von \( \varphi \) widerspricht. Also ist \( \mathbb{N} \) unendlich.

Ansatz/Problem:

Es geht um den Beweis der Unendlichkeit der natürlichen Zahlen. Nun habe ich eine Frage zu einer "Formulierung", die ich oben blau hervorgehoben habe. Was bedeutet dieser Strich zwischen dem phi und der Mengenklammer? Und wie muss ich mir den Beweis nun dadruch allgemein vorstellen?

Comments

Einfacher: Nenne eine natürliche endliche Zahl. Und ich addiere 1, also unendlich!

Answer 1

Der Strich bedeutet die Einschränkung von phi auf die Menge 1...m. Und diese neue Abb. heißt dann eben psi.

Es ist also immer phi(n) das gleiche wie psi(n).

Answer 2

Amann also :D. Guck mal unter Beispiel 3.2 d) nach, damit ist die Einschränkung von \(\varphi\) auf der Menge \( \{1, \dots, m\} \) gemeint.

Ich würde dir stark von diesem Buch abraten, da die Autoren verdammt viele komische selbst eingeführte Notation (diese gehört übrigens nicht dazu) durch ihre Bücher hindurch verwenden. Als Anfängerbuch nicht wirklich geeignet m. E. nach. Wie du siehst muss man da ständig am Ball bleiben um zu verstehen, was die eigentlich von dir wollen.

Gruß