Brüche allgemein
Ein Bruch ist eine andere Schreibweise für die Division. Der Dividend wird Zähler genannt, der Divisor wird Nenner genannt. Bei einem Bruch ist zu beachten, dass Zähler und Nenner stets ganze Zahlen sind und der Nenner nie Null betragen darf. Der Bruchstrich ersetzt quasi das geteilt-Zeichen.
JEDER Bruch ist eine rationale Zahl. Das heißt, er ist entweder eine ganze, eine periodische oder eine Dezimalzahl, die nach x stellen abbricht. Das Gegenteil, die irrationalen Zahlen, lässt sich nicht als Bruch schreiben. Das womöglich bekannteste Beispiel ist Archimedes mit dem Bruch 22/7 als Annäherung an die Kreiszahl π (bekanntlich irrational).
Es gibt folgende Arten von Brüchen:
· Echter Bruch: der Zähler ist kleiner als der Nenner.
· Unechter Bruch: der Zähler ist größer als der Nenner.
· Gemischter Bruch: der unrechte Bruch wurde quasi "umgeschrieben", sodass er jetzt aus einem echten Bruch und einer ganzen Zahl besteht. Beispiel: 23/4 = 5 + 3/4 = 5 3/4
Brüche addieren und subtrahieren
Ich erkläre dir jetzt nicht die Standard-Schulmethode mit dem gleichnamig machen von zwei Brüchen. Ich erkläre es dir mithilfe von vedischer Mathematik.
Nehmen wir (jetzt werde ich mathematisch) zwei Brüche a/b + c/d an. Wir gehen davon aus, dass b und d größer als 0 sind. Nun nehmen wir die Standard-Schulmethode und erweitern den ersten Bruch mit d und den zweiten Bruch mit b (die Erweiterung erklär ich später). Wir erhalten
(a•d)/(b•d) + (b•c)/(b•d).
Nun sind die Nenner gleich, wir fassen zusammen:
(a•d+b•c)/(b•d).
Das ist auch schon die Regel. merke dir (ist aus einem Mathe-Song):
"Links oben mal rechts unten plus/minus
Links unten mal rechts oben
Und mit dem Nenner unten mal unten
Hast du auch schon das richtige Ergebnis gefunden".
Beispiel: 3/4 + 2/5
(3•5 + 4•2)/(4•5)
= (15+8)/20
= 23/20.
Wundert mich gerade irgendwie, dass da ein unechter Bruch heraus kommt...
Brüche multiplizieren
Wenn du zwei Brüche a/b und c/d multiplizierst, so multiplizierst du die beiden Zähler und die beiden Nenner.
Beispiel: 3/4 • 2/5
3/4 • 2/5
= (3•2)/(4•5)
= 6/20.
Willst du jetzt aber einen Bruch mit einer ganzen Zahl multiplizieren, so nimmst du diese nur mit dem Zähler mal:
4 • 3/4
= (4•3)/4
= 3 (die Vier lässt sich kürzen, da im Zähler ein Produkt steht).
Siehst du dir nämlich die Zahl 2 an, so ist sie als Bruch geschrieben (möglichst weit gekürzt, zum Kürzen komm ich sspäter) 2/1. Nun multiplizieren wir wie oben beschrieben, und erhalten
(4•3)/(4•1)
= 3/1
= 3
Mein Beispiel war aber ein Sonderfall.
Brüche dividieren
willst du zwei Brüchhe durcheinander teilen, so multiplizierst du einfach mit dessen Kehrwert. Ein Kehrwert ist der selbe Bruch mit vertauschtem Zähler und Nenner. Der Kehrwert zu a/b wäre zum Beispiel b/a.
Beispiel: 3/4 : 2/5.
3/4 : 2/5
= 3/4 • 5/2
= (3•5)/(4•2)
= 15/8.
Erweitern eines Bruches
Ein Bruch zu erweitern heißt, sowohl Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl zu multiplizieren. Der Wert des Bruches bleibt gleich! Dies macht man sich zum Beispiel bei der Prozentrechnung zu Nutze. Nehmen wir an, du hättest den Bruch 3/20, willst aber wissen, wieviel Prozent das sind. Dazu musst du schauen, wie oft der Nenner in die 100 hinein passt. Wir erweitern jetzt nämlich so, dass im Nenner 100 steht. Wir erweitern den Bruch also mit 5:
(3•5)/(20•5)
= 15/100.
Das sind also 15%.
Wenn du jetzt (per schriftlicher Division oder mit dem Taschenrechber) den Zähler durch den Nenner teilst, so erhältst du bei beiden 0,15.
Kürzen eines Bruches
Das Kürzen ist das Gegenteil des Erweiterns. Das heißt, man teilt Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl. Diese Zahl muss aber gemeinsamer Teiler vom Zähhler und vom Nenner sein!
Nehmen wir uns den Bruch 15/100 und kürzen. Der gemeinsame Teiler ist 5, also teilen wir Zähhler und Nenner durch 5 und erhalten 3/20.
Eigentlich wandelt man Zähler und Nenner in ein Prodikt um. Beispiel: a^2/(ab).
Wandeln wir das nun in ein Produkt um, so erhalten wir (a•a)/(a•b) = a/b.
Das wirst du später sehr oft gebrauchen.
Ich hoffe, ich konnte etwas helfen.
