Question

(Reellifizierung eines komplexen Vektorraumes; Dimension komplexer bzw. reeller Linearkombinationen als Unterräume d. reellen VR)




Ich habe eine Frage/Aufgabe, die oben nur einigermaßen genau beschrieben wurde, deshalb hier im Detail:

Ich suche für jedes n ≥ 0 die Zahlenpaare (x,y), für die es einen komplexen Vektorraum und Vektoren v₁,...,v_n darin gibt, sodass x = dim_R L_C (v₁,...,v_n) und y = dim_R L_R (v₁,...,v_n).

Dabei soll ein reeller Vektorraum durch Einschränkung der Skalarmultiplikation eines komplexen Vektorraumes auf R entstanden sein; es soll dann dim_R ( bzw. dim_C ) die Dimension bezogen auf den reellen bzw. komplexen Vektorraum sein bzw. jeweils auch auf deren Untervektorräume... und L_R bzw. L_C sind die linearen Hüllen, also die Mengen aller Linearkombinationen von (v₁,...,v_n) jeweils bezogen auf reelle bzw. komplexe skalare Koeffizienten, wobei hier die Menge der Vektoren schon als Vektorraum symbolisiert und angesehen wird.

Also dann Dankeschön...
und einen netten Gruß!!!

Comments

Ist hier nicht einfach (x, y) = (n, 2n)?

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Danke für Deine Antwort - Das dachte ich auch erst...

Das gilt auf jeden Fall für die Dimensionen der Vektorräume so: dim V_R = 2 dim V_C. Weil, das meinst du bestimmt, (v, iv) im V_R immer linear unabhängig ist, hingegen im V_C linear abhängig. (i ist die Imaginäre Einheit)

Aber:
In der Aufgabe steht nicht, dass (v₁,...,v_n) linear unabhängig ist in VC -und was in VC linear unabhängig ist, ist auch in VR linear unabhängig- also könnte, so meine ich z.B. ein Vektor doppelt vorkommen, allgemeiner: linear kombinierbar sein, also wäre z.B. schon mal dim_R dim_C(v₁,..,v_n) nicht n sondern n-1 und das Paar müsste auch nicht mehr (n,2n) sondern (n-1,2n-2) sein, oder?
Und außerdem:
Angenommen, zu (-hier mal: genau) einem reellen vj aus (v₁,...,v_n) existiert in (v₁,...,v_n) noch ein iv_j  (-> i wieder Imaginäre Einheit), dann wäre dim_R L_R (v₁,...,v_n) nicht 2n sondern schon wieder 2n-2 aber das Tupel, das wir suchen, wäre (n,2n-2).
Was ich insgesamt sagen will:
Für p = Anzahl der in V_C aus (v₁,...,v_n) linearkombinierbaren Vektoren aus (v₁,...,v_n), also Anzahl der sowieso immer in beiden Räumen kombinierbaren Vektoren und k = Anzahl der reellen vj aus (v₁,...,v_n), für die noch in (v₁,...,v_n) ein iv_j existiert, die also nicht als extra in V_R kombinierbare Vektoren "hinzukommen", sondern sowieso schon da sind ist mein Vorschlag:

( n-p , 2(n-p-k) )

Und schließlich geht es nicht um die Vektorräume, sondern Linearkombinationen...
Sry, dass es so viel geworden ist!

P.S.: -es ist nur eine Idee aber sie scheint mir recht kompliziert und vielleicht habe ich auch ganz und gar einen Denkfehler...

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Also meiner Meinung nach, wenn x die Dimension eines C-Vektorraumes ist, dann ist die R-Dimension dieses Vektorraumes gleich 2 mal x.

Ich denke, es könnte zu kompliziert gedacht sein.

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Ok aber ich denke, ganz so einfach ist es doch nicht -

Was wäre deiner Meinung nach dim_C L_R(v₁,...,v_n) ?

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Du willst einem R-Vektorraum eine C-Dimension zuordnen?

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Dem stünde für mich nichts im Wege in dem besonderen Fall, dass (v₁,...,v_n) die besondere Form wie (v₁,iv₁,v₂,iv₂,v₃,iv₃,...) hätte mit reellen v₁,v₂,v₃,...
Dann wäre nämlich -und deshalb hatte ich das davor gefragt gehabt- ein Spezialfall da, der nicht in das Schema (n,2n) passt nach meiner Idee:
( n-p , 2(n-p-k) )
Sagen wir mal (v₁,...,v_n) ist linear unabhängig im V_C, sodass hier p=0...
Also ( n-0 , 2(n-0-k) ) = ( n , 2(n-k) ).
Mein k ist dann außerdem noch   0,5n  , weil in dem beschriebenen speziellen Fall oben die hälfte reelle Vektoren waren und der Rest verhält sich jeweils so, wie in meinem ersten Kommentar zu k beschrieben.
Also ( n , 2(n-k) ) = ( n , 2(n-0,5n) ) = ( n , 2(0,5n) ) = ( n, n )...
Naja...

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So gesehen kannst du jedem R-Vektorraum mit gerader Dimension eine C-Dimension zuordnen. Aber welche C-Dimension hat ein eindimensionaler R-Vektorraum, 1/2?

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Ok und

Ich habe aber trotzdem leider immer noch nicht ganz verstanden, wieso genau man immer auf (n,2n) kommen soll (Beweis?) und nicht zum Beispiel (Und das geht, meine ich, auch nur bei geraden solchen Dimensionen, Siehe oben!) auf (n,n) oder auf andere Paare bei immer hinreichend beschaffenem n...

Wäre da ein Beweis möglich?

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Also für einen R-Vektor \( v_1 \) ist der von \( v_1, iv_1 \) aufgespannte R-Vektorraum nicht eindimensional. Darin könnte der Denkfehler in deiner Konstruktion liegen.

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Das ist mir eigentlich klar: Was du sagst ist \(\dim_R L_R(v_1,iv_1) = 2\)

Aber:

Ich finde, dass sinnvoller Weise sein kann,dass \(\dim_C L_R(v_1,iv_1) = 1\) und dass sowieso und insbesondere auch \(\dim_R L_C(v_1,iv_1) = 2\) ist zumal \(L_C(v1,iv_1) = L_C(iv_1,i^2v_1) = L_C(iv_1,-v_1)\) ist.

Und das ist eigentlich sogar der Kern meiner Überlegungen.

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Ich würde mich sehr freuen, wenn jemand noch etwas dazu sagen könnte...
Dankeschön schon mal und nette Grüße!