Wie müssen x und y gewählt werden, um die maximale Tragfähigkeit zu erreichen.

Question

Aufgabe:

Aus einem Baumstamm mit kreisförmigen Querschnitt (Durchmesser D) soll ein Balken mit rechteckigem Querschnitt herausgeschnitten werden, der maximale Tragfähigkeit besitzt.

Die Tragfähigkeit eines Balkens der Breite \( x \) und der Höhe \( y \) ist dabei gegeben durch \( T = c x y^{2} \) mit einer Konstanten \( c > 0 \).

Wie müssen \( x \) und \( y \) gewählt werden, um die maximale Tragfähigkeit zu erreichen.

Answer 1

Hier meine Berechnungen

Die erste Ableitung T ´( a ) ist  etwas Arbeitsaufwand, dann zu 0 setzen
und den Extremwert bestimmen.
Die Ergebnisse für a und b stimmen.
Dann ergibt sich
x = 2 * D / √ 12
y = 2 * D / √ 6

Beispiel
D = 10 cm
x = 5.77 cm
y = 8.16 cm

Zur Kontrolle mit dem Pythagoras
5.77^2 + 8.16^2 = 10^2

Answer 2

aufgrund der Form der Tragfähigkeitsfunktion reicht es das Problem darauf zu reduzieren, dass die Eckpunkte des Rechtecks auf dem Kreis liegen. Für ein gewähltes \( x \in (0, D) \) besteht der Zusammenhang:

$$ y^2 = D^2-x^2 $$

was man sehr leicht mit Pythagoras erkennen kann.

Dies ist also deine Nebenbedingung, die du in deine Funktion einsetzt und  dann ganz normal dein Maximum im relevanten Bereich ermitteln kannst.

Gruß