Folgerungen aus dem Archimedischen Axiom beweisen

Question

bitte mein Beweis kontrollieren.

Das Archimedische Axiom: Zu je zwei reellen Zahlen \( x,y >0 \) existiert ein \( n \in \mathbb{R} \) mit \( nx > y \).

Zeige: Zu jeder reellen Zahl \(x \) gibt es \( n_1, n_2 \in \mathbb{N} \), so dass \( n_1 > x \) und \( -n_2 < x\). Daraus folgt: Zu jedem \( x\in \mathbb{R} \) gib es eine eindeutig bestimmte ganze Zahl \( n \in \mathbb{Z} \) mit \( n \le x < n+1 \).

Beweis:

Teil I: Zu finden ist ein \(n_1 \) mit \(n_1 > x \). Wenn \(x \) negativ, dann \(n_1 = 0 \). Sonst: Angenommen es wurde so ein solches \(n_1 \) nicht geben. Dann gibt es aber das größte \(n_1\) mit \(x > n_1 \). Zu jeder natürlichen Zahl \( n_0 \) gibt es ein aber eine \(n\) mit \(n= n_0 +1 \) und das ist ein Widerspruch mit der größten natürlichen Zahl \(n_1\).

Zu finden ist ein \(n_2\) mit \( -n_2 < x\). Ist \(x \) positiv, dann \(n_2 = 0 \). Ist \(x \le 0 \), dann betrachten wir \( -x  \ge 0 \) und es muss ein \(n_2 \) geben analog zum \(n_1\).

Teil II: Sei \(x \) eine ganze Zahl, dann offensichtlich \(n = x \) und \( n \le x < n+1 \). Sei \(x \) keine ganze Zahl. Dann suchen wir uns die größte ganze Zahl \(n\) mit \(n<x\). Würde \(x < n+1 \) nicht gelten, dann würde \(x \) eine ganze Zahl sein oder \(n\) würde nicht die größte Zahl sein mit \(n<x\) also Widerspruch.

Ich glaube mir fehlt hier noch die Eindeutigkeit oder?

Answer 1

Eindeutigkeit geht vielleicht so:

Sei x aus R und seien n und m aus Z mit  n ≤ x < n+1 und   m ≤ x < m+1

dann ist     - m ≥ - x  > -m-1   und    n ≤ x < n+1   also

- m -1 <  - x  ≤ -m    und    n ≤ x < n+1also addiert

n-m -1  <  0 < n-m+1     | -n + m

-1 < m-n < 1  und da m und n ganze Zahlen sind, geht das nur für m-n=0,

also m=n .