Bestimmen Sie alle Tangenten an den Graphen die durch den Nullpunkt gehen (Differenzialrechnung)

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie alle Tangenten an den Graphen von f(x) = x^2 - 6x + 11

a) die durch den Nullpunkt gehen.

b) die zu der Sekante durch die Punkte (2, f(2)) und (5, f(5)) parallel sind.

Ansatz/Problem:

Möchte es schon selbst lösen, aber ich weiss nicht, wie man da ueberhaupt herangeht. Im Skript habe ich bisher nur folgende Formel:

\( \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}\right)}{h} \)

Kann ich mithilfe dieser schon irgendwas ausrechnen? Oder muss ich die Funktion ableiten und kann dann schon irgend etwas zur Steigung sagen, denn die Tangente ist ja im Grunde genommen die Steigung, oder?

Answer 1

Der Tangens der Steigung der Tangente entspricht dem Wert der Ableitung der Funktion im Berührpunkt.

Comments

Also einfach ableiten?

f(x) = x² - 6x + 11
f '(x) = 2x - 6

Muss ich das dann in diese Formel einsetzen:

lim     = (f(2x - 6 + h) - f(2x - 6)) / h = lim    h/h = lim    1 = 0
h->0                                                       h->0           h->0

Blicke da leider noch gar nicht so durch. :/

Answer 2

Hier die Skizze zur Verdeutlichung des Sachverhalts.

f ( x ) = x² - 6x + 11
f ´( x ) = 2 * x - 6

Nun alles in die obige Formel einsetzen und nach x auflösen.
Dann f ´( x ) berechnen. Dies ist die Steigung m der Tangente.
Tangentenformel
t ( x ) = m * x + b
Wobei b = 0 ist, da die Tangente durch den Nullpunkt geht.

Bin bei Bedarf gern weiter behilflich.

Answer 3

Also einfach ableiten?

f(x) = x² - 6x + 11 
f '(x) = 2x - 6 

Muss ich das dann in diese Formel einsetzen: 

lim     = (f(2x - 6 + h) - f(2x - 6)) / h = lim    h/h = lim    1 = 0 
h->0                                                       h->0           h->0

Blicke da leider noch gar nicht so durch. :/ 

Der blaue Teil ist überflüssig. 

Unterscheide die beiden Teilaufgaben.

1) Bestimmen Sie alle Tangenten an den Graphen von f(x) = x² - 6x + 11 

a) die durch den Nullpunkt gehen 
b) die zu der Sekante durch die Punkte (2, f(2)) und (5, f(5)) parallel sind.

zu b)

Sekante hat die Steigung  m = (f(5) - f(2))/(5-2) =

5² - 6*5 + 11  - ( 2² - 6*2 + 11 )/(5-2)

=(25-30+11) - (4 - 12 + 11)/3 = (6-3)/3 = 1

Setze das Ergebnis mit der Ableitung gleich

f '(x) = 2x - 6 = m = 1

So bekommst du das x des Berührpunktes. 

2x - 6 = 1

2x = 7

x= 3.5

y-Wert dazu

y=x² - 6x + 11 = 3.5^2 - 6*3.5 + 11 =2.25

B(3.5| 2.25) ist ein Punkt auf der Tangente, deren Steigung du ja kennst.

Nun kannst du die Geradengleichung dieser Tangente aufstellen. 

Bitte aber erst mal nachrechnen und gegebenenfalls die Rechnung korrigiert notieren. - Du willst ja selbst rechnen. 

Comments

Deine Formel im Skript ist wird auch als h-Methode bezeichnet.

Mit der kannst du die Ableitungsfunktion herleiten. Eine vorgerechnete Herleitung findest du z.B. hier: https://www.mathelounge.de/131424/ableitung-funktionen-methode-anhand-beispiel-erklaren-bitte

Denke dir bei der Antwort von JotEs das x fest und h variabel. Notiere daher auf deinem Blatt jedes x in der dortigen Rechnung als x_o . Du bekommst zum Schluss die Ableitung der Funktion ein einer beliebigen festgelegten Stelle x_o.

Weitere hier: https://www.mathelounge.de/tag/h-methode