Differenzialrechnung - Tangentensteigung - h-Methode: Bestimme Tanjas mittlere Geschwindigkeit

Question

Thema Differnenzialrechnung:

Tanja springt zum Zeitpunkt t=0 von einem 5-m-Brett. Die Gleichung s(t)=5,0*t² gibt bei Vernachlässigung des Luftwiderstands an, um welche Strecke s(t) in Metern die in t Sekunden gefallen ist. Beim Eintachen ins Wasser ist Tanja s=5,0 Meter gefallen. Zum Berechnen der Zeit, di seit dem Absprung verstrichen ist, lösen wir die Gleichung nach t auf:

\( t^{2}=\frac{s}{5} \Rightarrow t=\sqrt{\frac{s}{5}}=\sqrt{\frac{5}{5}}=1,0 \)

Für die Strecke von 5m hat Tanja etwa 1 Sekunde benötigt. Die mittlere Geschwindigkeit des Sprungs betrug also

\( \frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{s(1)-s(0)}{1-0}=\frac{5-0}{1-0}=5,0 \)

5,0 Meter pro Sekunde. Da die Geschwindigkeit während das Fals zunimmt ist das nicht die Geschwindigkeit mit der Tanja ins Wasser eintaucht.

Aufgabe:

Bestimme Tanjas mittlere Geschwindigkeit (die mittlere Änderungsrate des Weges) für die Zeit von 1-h bis 1 Sekunde:

\( \frac{\triangle s}{\triangle t}=\frac{s(1)-s(1-h)}{1-(1-h)}=\ldots \)

Wie verhält sich das Ergebnis, wenn h immer kleiner wird, also "gegen 0 strebt"?

Und jetzt meine Frage: Ich habe das mit dieser Ableitung ausgerechnet und als Wert -5 herausbekommen, aber was sagt mir das?

Answer 1

$$\frac{\triangle s}{\triangle t}=\frac{s(1)-s(1-h)}{1-(1-h)}=\frac{5-5(1-h)^2}h$$$$\quad=\frac{5-5(1-2h+h^2)}h=\frac{5-5+10h-5h^2}h$$$$\quad=\frac{10h-5h^2}h=10-5h.$$$$\lim_{h\to0}(10-5h)=10.$$

Comments

ah, ich habe meinen Fehler gefunden, danke dir :)

Answer 2

Die allgemeine Formel für den freien Fall ist
s ( t ) = 5 * t^2  ( ganz richtig : s ( t ) = g / 2 * t^2 )
Geschwindigkeit  ist definiert mit
Strecke durch Zeit : v = s / t
v = 5 m / 1 sec = 5 m / sec
Dies ist die Durchschnittsgeschwindigkeit.

Während des freinen Falls erhöht sich die
Geschwindigkeit jedoch. Von 0 m/sec bis
zur Geschwindigkeit bei 1 sec.
Das Weg / Zeit-Diagramm für s ( t ) = 5 * t^2
zeigt dir eine Parabel.

Geschwindigkeit = Steigung, ist die 1.Ableitung:
s ´( t ) = 5 * 2 * t = 10 * t = v
Die Momentangeschwindigkeit beim Eintauchen ist
v = 10 * 1 = 10 m / sec.

Die h-Methode würde dir auch nur die 1.Ableitung liefern.
Kann ich aber auch einmal vorführen.

Comments

geht es auch ohne die v=s/t - Formel? ich kenn die zwar, aber das ist ja eher pyhsik. in mathe habe ich noch nie mit der formel gerechnet