Ermittle die Funktion, deren Graph diese Kurve ist (Kreis)

Question

Es sei k ein Kreis mit dem Radius 1, dessen Mittelpunkt der Koordinatenursprung 0 einen kartesischen x-y Koordinatensystems ist.
Der Punkt P liege im ersten Quadranten dieses Koordinatensystems auf k.
Die Tangente im Punkt P an den Kreis k schneide die x-und y achse in den Punkten S bzw. T.
Der Mittelpunkt der Strecke ST sei M.

Wenn sich der Punkt P auf dem Teil des Kreises k bewegt, der im ersten Quadranten liegt, dann bewegt sich der Punkt M = M(x,y) auf einer Kurve.
Man ermittle eine Funktion f mit einer Gleichung y=f(x), deren graph diese Kurve ist.

Hier seht ihr die Lösung:

 

Wie allerdings komme ich auf diese Funktion.

Ich würde gern einen klaren Rechenweg haben, damit ich es nachvollziehen kann

Comments

Gleiche Frage hier: Ermitteln einer Funktion: Kreis mit Radius 1, Punkt im ersten Quadranten, Tangente und Mittelpunkt

Answer 1

Der x-Achsenabschnitt der Tangente ist dann 2x, der y-Achsenabschnitt ist 2y, weil M in der Mitte dieser Schnittpunkte mit den Achsen liegt.

N=Nullpunkt

NS ist dann die Hypotenuse des Dreiecks NSP. Alpha sei der Winkel bei N in diesem Dreieck.

cos α = 1 / 2x

es gilt: sin² α =1-cos² α

2y = 1 / cos (90-α) = 1 / sin α

y = 1 / (2sin α) = 1 / (2*√(1-cos² α)) = 1 / (2*√(1-1/4x²))

Comments

das klingt ziehmlich kompliziert, kannst du bitte noch mal erklären wie du auf deine einzelnen schritte kommst?

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Am besten zeichnest Du Dir das einmal auf, mit dem Winkel α im Nullpunkt.

Warum cos (90-α) = sin α  gilt, kannst Du Dir anhand des rechtwinkligen Dreiecks überlegen, wenn Du Dir die Verhältnisse mit Ankatheten, Hypotenuse und Gegenkathete überlegst.

sin² α =1-cos² α   gilt wegen Pythagoras (im Einheitskreis nachvollziehbar)

Sonst schreibe einfach, welchen Schritt Du nicht verstehst, nachdem Du die Zeichnung gemacht hast.

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so weit habe ich es verstanden, aber ab dieser stelle komme ich nicht mehr mit:

 

"2y = 1 / cos (90-α) = 1 / sin α

y = 1 / (2sin α) = 1 / (2*√(1-cos² α)) = 1 / (2*√(1-1/4x²))"

 

wie kommst du darauf, dass es 2y ist?

 

Danke schonmal das du dir die zeit nimmst :)

 

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Das hängt damit zusammen, dass M in der Mitte der Schnittpunkte mit den Achsen liegt. Dann ist y von M die Hälfte des y-Achsenabschnitts, dieser ist dann 2y.

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hi, ich habe mir alles jetzt gezeichnet und verstehe es jetzt auch so weit. nur den letzten umformungsschritt verstehe ich noch nicht.

warum ist

1 / (2*√(1-cos² α)) = 1 / (2*√(1-1/4x²)) ??

 

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Weil cos( Alpha) = 1/2x (siehe weiter oben)

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ich muss die aufgabe auch lösen und verstehe den schritt auch nicht wirklich. kannst du mir das nochmal auf ganz niedrigem niveau erklären, was 2x und 2y sind  und wie du darauf kommst? wäre sehr nett :)

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Wenn M der Mittelpunkt ist von zwei Punkten, die auf den Achsen liegen, und wenn M die Koordinaten x und y hat, dann müssen die Achsenabschnitte 2x und 2y sein.

Die Koordinaten von M sind der Durchschnitt der Koordinaten der beiden Punkte auf den Achsen. Das ist genau dann der Fall, wenn der Punkt auf der x-Achse (0;2y) ist, weil der Durchschnitt dann (2y+0)/2 = y ist. Analog mit x.

Verstehst Du es jetzt?

Answer 2

Vorschlag mit der HNF Hesseschen Normalform, einer Anwendung des Skalarprodukts. Falls Vektorrechnung bekannt.

Ich schreibe A für Alpha.

Punkte auf dem Einheitskreis haben die Koordinaten P( cos A / sin A).

Der Vektor \( \left( \begin{array} { l l } { \cos } & { A } \\ { \sin } & { A } \end{array} \right) \) ist der Normalenvektor auf der Tangente. Die Tangente hat den Abstand 1 vom Koordinatenursprung.

Deshalb gilt wie in den Hesseschen Normalform HNF

für t(x): cos A *x + sin A * y = 1

Die Achsenschnittpunkte sind

mit der y-Achse (x=0)  →  y = 1/ sin A

mit der x-Achse (y=0)  →  x = 1/ cos A

Der Punkt M dazwischen hat die Koordinaten M ( 1/ (2cos A) | 1 / ((2 sin A))

Nun wählt man für die gesuchte Ortskurve

x =  1/ (2cos A)    und y = 1 / ((2 sin A)  = 1 / (2 √ (1- cos² A)

→ cos A = 1 / 2x

→ y = 1 / (2 √(1 - (1/(4x²)))