Berechnen Sie den Abstand des Punktes von der Ebene E_{ABC} und das Volumen des Tetraeders ABCD.

Question

Aufgabe:

Das regelmäßige Tetraeder \( A B C D \) mit \( D(9|8| 10) \) als viertem Eckpunkt ist einem Würfel einbeschrieben, wie in der Abbildung dargestellt.

Berechnen Sie den Abstand des Punktes \( D \) von der Ebene \( E_{ABC} \) und das Volumen des Tetraeders \( A B C D \).

Ansatz/Problem:

Wie berechne ich hier das Volumen?

Answer 1

Mit der Analytischen Geometrie wäre das

AB = [-3, 8, -2] - [9, -4, -2] = [-12, 12, 0]

AC = [-3, -4, 10] - [9, -4, -2] = [-12, 0, 12]

AD = [9, 8, 10] - [9, -4, -2] = [0, 12, 12]

V = 1/6·([-12, 12, 0] ⨯ [-12, 0, 12])·[0, 12, 12] = 576

Du kannst aber auch ganz einfach den Würfel berechnen und davon die Teile die nicht zum Körper gehören abziehen:

12^3 - 4·1/6·12^3 = 576