Aloha :)
Setzen den Ursprung deines Koordinatensystems in den Punkt \(B\), das ist am einfachsten zu rechnen. Von diesem Punkt aus wird der Tetraeder von den folgenden drei Vektoren aufgespannt:
$$\overrightarrow{BA}=\begin{pmatrix}-2\\1\\-1\end{pmatrix}\quad;\quad \overrightarrow{BC}=\begin{pmatrix}-2\\-8\\-1\end{pmatrix}\quad;\quad\overrightarrow{BD}=\vec a=\begin{pmatrix}2\\3\\-5\end{pmatrix}$$
Der Tetraeder hat eine dreieckige Grundfläche, daher ist sein Volumen \(\frac16\) des Spat-Volumens, das die drei Vektoren aufspannen. Das Spat-Volumen kannst du mit dem Spat-Produkt oder mit der Determinante bestimmen:
$$\left|\begin{array}{rrr}-2 & -2 & 2\\1 & -8 & 3\\-1 & -1 & -5\end{array}\right|=\left|\begin{array}{rrr}0 & 0 & 2\\4 & -5 & 3\\-6 & -7 & -5\end{array}\right|=2\cdot(-28-30)=-108$$Das negative Vorzeichen kommt daher, dass die Vektoren in der Determinante ein Linkssystem bilden und muss uns nicht weiter stören. Das gesuchte Volumen des Tetraeders ist also:$$V=\frac16\cdot108=18$$
