Punktweise Konvergenz einer Funktionenreihe und grenzwert bestimmen

Question

∑_n=0 x²/(1+x²)ⁿ  auf [-1,1]

Nun punktweise konvergenz liegt ja vor, wenn f_n(x) -> f(x) für n->∞

d.h. ich muss erstmal f(x) (also den Grenzwert?) kennen.

Ich hätte jetzt umgeformt. x² * ∑_n=0 (1/(1+x²))ⁿ

Die geometrische reihe lässt sich erkennen also:

x² * ∑_n=0 (1/(1+x²))ⁿ = x²/(1-(1+x²)) = -1

Ist jetzt -1 der Grenzwert? wenn ja, wie fahre ich fort?
folgt nun schon direkt, dass wenn ich n gegen unendlich laufen lasse der grenzwert -1 erreicht wird?
müsste meine fkt nun für f(x):=-1 für alle x sein?

Comments

Müsste es nicht heißen$$x^2\cdot\sum_{n=0}^\infty\left(\frac1{1+x^2}\right)^n=\frac{x^2}{1-\frac1{1+x^2}}=1+x^2\,?$$

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Man müsste aber noch den Fall x = 0 näher betrachten.

Answer 1

Hi,
da ist einiges falsch. Die geometrische Reihe kann man nur anwenden wenn gilt
$$ \left| \frac{1}{1+x^2} \right| < 1 $$ was äquivalent zu \( x^2 > 0 \) D.h. für \( x = 0 \) muss man das Problem gesondert betrachten.
Dann hast Du einen Fehler bei der Berechnung der geometrischen Reihe gemacht. Es gilt
$$ x^2 \cdot \sum_{n=0}^\infty \left( \frac{1}{1+x^2} \right)^n = x^2 \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{1+x^2}} = 1+x^2 $$