Funktionenreihe auf gleichmäßige Konvergenz untersuchen mit majorantenkriterium

Question

https://www.youtube.com/watch?v=4I0i7axr_dA

Gegeben ist die Funktionenreihe ∑ n²/√n! (xⁿ+1/xⁿ)  x∈[1/2 ;2]. Nach dem Majorantenkriterium von Weierstraß muss ja nun das Supremum aus (xⁿ+1/xⁿ ) bestimmt werden und die dann entstandene Zahlenreihe auf Konvergenz untersuchen.

Deshalb wurde bei xⁿ für x=2 eingesetzt (wegen Supremum) und bei 1/xⁿ wurde für x=1/2 eingesetzt, da man ja auch wieder das Supremum sucht. Ich verstehe nicht wie man für x zweimal unterschiedliche Werte einsetzen kann. Das der Ausdruck xⁿ +1/xⁿ maximal wird für x=2 bzw. x=1/2 ist mir schon klar. Aber ich darf doch das x nur einmal wählen oder sehe ich das falsch?

Comments

$$\sup_{x\in A}|f(x)+g(x)|\le\sup_{x\in A}|f(x)|+\sup_{x\in A}|g(x)|$$

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Prima Gilt für die Supremumsnorm auch die Dreiecksungleichung mit Minus, also sup |f(x)-g(x)| ?

Auf Wiki finde ich nur die von dir genannte Dreiecksungleichung.

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In Deiner Frage ist keine Ungleichung enthalten. Was soll gelten?

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Ich meine ob es für sup |f(x)-g(x)|  x∈A auch eine Ungleichung gibt, also etwas in der Form

sup |f(x)-g(x)| ≤......?

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Was haettest Du denn gerne für die Puenktchen da stehen?

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Wenn die Ungleichung sup |f(x)+g(x)| ≤ sup|f(x)|+sup|g(x)| müsste ja auch  sup |f(x)-g(x)| ≤ sup|f(x)|+sup|g(x)|  gelten oder?

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Offensichtlich schon.

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Eine Frage noch:

Bei der Reihe ∑ (xⁿ-xⁿ⁺¹)  x∈[0;1] kann ich ja leicht die Definition von gleichmäßiger Konvergenz anwenden oder ich nehme das Majorantenkriterium wie bei der Aufgabe im Video.

Also sup |(xⁿ-xⁿ⁺¹)| ≤2

Die Reihe ∑ 2 divergiert ja also konvergiert ∑ (xⁿ-xⁿ⁺¹)  für x∈[0;1] nicht gleichmäßig auf x∈[0;1].

Kann man das so lösen?

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Nein. Das Kriterium ist hinreichend, aber nicht notwendig. Wenn es nicht erfuellt ist, folgt daraus gar nichts.

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Heißt nur wenn ich nach der Berechnung von sup eine konvergente Reihe erhalte, könnte ich auf gleichmäßige Konvergenz schließen?

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Erstens das und zweitens ist die angegebene Rechenregel nicht dazu brauchbar, ein Supremum zu berechnen, sondern nur dazu, es nach oben abzuschaetzen. Es gibt gute Abschaetzungen und auch schlechte. Die Abschaetzung \(\sup_{x\in[0,1]}|x^n-x^{n+1}|\le2\) ist z.B. eine ziemlich schlechte.

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Was wäre hier eine gute Abschätzung?

Ich hab die Aufgabe zwar schon gelöst mit der Definition von gleichmäßiger konvergenz aber wie würde man jetzt hier abschätzen?

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Eine bessere Abschaetzung ist offenbar $$|x^n-x^{n+1}|=|(1-x)x^n|=|1-x||x|^n\le1\quad\text{fuer $0\le x\le1$}.$$ Ausserdem kann man es auch ausrechnen: $$\sup_{x\in[0,1]}|x^n-x^{n+1}|=\frac{1}{n+1}\left(\frac{n}{n+1}\right)^n.$$ Da aber \(\sum(x^n-x^{n+1})\) auf \([0,1]\) nicht gleichmaessig konvergiert, kann man das eben mit dem Weierstrass'schen Majorantenkriterium auch nicht zeigen, egal wie genau man das Supremum angibt.

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Ja ich hab die Aufgabe auch anders gelöst.

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