Extrema von f(x,y,z)=5x+y-3z unter Nebenbedingungen bestimmen

Question

Hallo

ich habe folgende Funktion gegeben : f(x,y,z)=5x+y-3z

Die Extrema sollen auf dem Schnitt der Ebene g₁(x,y,z)=x+y+z=0 mit der Kugeloberfläche g₂(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-1=0 liegen.

Durch die Lagrange-Bedingung erhalte ich folgendes Gleichungssystem:

5=λ₁+2xλ₂

₁₌λ₁+2yλ₂

_-3=λ₁+2zλ₂

Jedoch bin ich mit nicht sicher was ich damit nun anfangen soll. Ich hoffe ihr könnt mir helfen :)

Answer 1

5=λ₁+2xλ₂   ==>  5 - 2xλ₂ =λ₁

1=λ₁+2yλ₂  ==>  1 - 2yλ₂ =λ₁

-3=λ₁+2zλ₂  ==>  -3 - 2zλ₂ =λ₁

also  5 - 2xλ₂ =  1 - 2yλ₂   und   1 - 2yλ₂ =  -3 - 2zλ₂ 

         - 2xλ₂   +2yλ₂   =  -4   und   - 2yλ₂   +2zλ₂  =  -4 

       (- 2x +2y) *λ₂   =  -4   und  ( - 2y+2z  ) * λ₂  =  -4

für x≠y also    λ₂   =  -4 /     (- 2x +2y)  

                    ==>     ( - 2y+2z  ) * -4 /     (- 2x +2y)   =  -4

                    ==>     ( - 2y+2z  ) * -4     =  -4 *  (- 2x +2y)   

                   ==>         2x - 4y+2z      =  0

Das ist auch die Gleichung einer Ebene

und du hast ja noch x+y+z=0  und  x²+y²+z²-1=0.

Also erst mal die beiden Ebenen schneiden:

2x - 4y+2z      =  0  und   x+y+z=0 

gibt die Gerade mit den Punkten ( t ; 0 ;  - t )

in die Kugelgleichung eingesetzt

                    t² + 0 + t² = 1    ==>  t = ±√2   /  2

Also sind mögliche Extrempunkte bei ( √2   /  2  ; 0 ; -√2   /  2 )

und  ( √2   /  2  ; 0 ; -√2   /  2 ).

Oben fehlte noch der Fall x=y . Der geht ähnlich.

Comments

Danke hat mir viel weitergeholfen :)

Nur eine Frage noch, woher weiß ich dass ich nur die Fälle x=y und x≠y unterscheiden muss?

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  (- 2x +2y) *λ₂   =  -4   und  ( - 2y+2z  ) * λ₂  =  -4

weil ich hier durch    (- 2x +2y)   dividiert habe. Und

das geht nur für   x≠y

für x≠y also    λ₂   =  -4 /     (- 2x +2y)  

............dann aller ausrechnen und hinterher

den Fall x=y nachschieben.